Droite centrale

L'axe anti-orthique comme axe de l'homologie entre le triangle ABC et son triangle excentral.

La droite centrale associée au centre du cercle inscrit X₁ = ( 1 : 1 : 1 ) (aussi noté I) a pour équation trilinéaire

${\displaystyle x+y+z=0.}$

Cette droite est l'axe anti-orthique du triangle ABC[6].

Le centre du cercle inscrit est son propre conjugué isogonal. Donc l'axe anti-orthique, qui est la droite centrale associée à X₁, est l'axe de l'homologie entre le triangle ABC et le triangle cévien du centre du cercle inscrit au triangle ABC.

L'axe anti-orthique du triangle ABC est l'axe de l'homologie entre triangle ABC et son triangle de Bevan, formé par les bissectrices extérieures et de sommets les centres des cercles exinscrits I₁I₂I₃[6].

Le triangle dont les côtés sont tangents extérieurement aux cercles exinscrits du triangle ABC est le triangle extangent du triangle ABC. Un triangle ABC et son triangle extangent sont homologiques, d'axe l'axe anti-orthique du triangle ABC.

La droite de Lemoine comme axe de l'homologie entre le triangle ABC et son triangle tangentiel.

Les coordonnées trilinéaires du centre de gravité X₂ (aussi noté G) du triangle ABC sont (1/a : 1/b : 1/c). Donc la droite centrale associée au centre de gravité est la droite d'équation trilinéaire est

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=0}$.

Cette droite est la droite de Lemoine, ou axe de Lemoine du triangle ABC.

Le conjugué isogonal du centre de gravité X₂ est le point de Lemoine X₆ (aussi noté K) de coordonnées trilinéaires (a : b : c). Donc la droite de Lemoine de triangle ABC est la polaire triliénaire du point de Lemoine du triangle ABC.

Le triangle tangentiel du triangle ABC est le triangle T_AT_BT_C formé par les tangentes au cercle circonscrit du triangle ABC en ses sommets. Le triangle ABC et son triangle tangentiel sont homologiques et l'axe de l'homologie est la droite de Lemoine du triangle ABC.

L'axe orthique comme axe de l'homologie entre le triangle ABC et son triangle orthique.

Les coordonnées trilinéaires du centre du cercle circonscrit X₃ (aussi noté O) d'un triangle ABC sont (cos A : cos B : cos C). Donc la droite centrale associée au centre du cercle circonscrit est la droite de coordonnées trilinéaires est

${\displaystyle x\cos A+y\cos B+z\cos C=0}$.

Cette droite est l'axe orthique du triangle ABC[7].

Le conjugué isogonal du centre du cercle circonscrit X₆ est l'orthocentre X₄ (aussi noté H) de coordonnées (sec A : sec B : sec C). Donc l'axe orthique du triangle ABC est la polaire trilinéaire de l'orthocentre du triangle ABC. L'axe orthique du triangle ABC est l'axe de l'homologie entre le triangle ABC et son triangle orthiqueH_AH_BH_C.

Construction de la droite centrale associée à l'orthocentre.

Les coordonnées trilinéaires de l'orthocentre X₄ (noté souvent H) d'un triangle ABC sont (sec A : sec B : sec C). Donc la droite centrale associée à l'orthocentre est la droite d'équation trilinéaire

${\displaystyle x\sec A+y\sec B+z\sec C=0.}$

Le conjugué isogonal de l'orthocentre d'un triangle est le centre du cercle circonscrit au même triangle. Donc la droite centrale associée à l'orthocentre est la polaire trilinéaire du centre du cercle circonscrit.

Construction de la droite centrale associée au centre du cercle d'Euler.

Les coordonnées trilinéaires du centre du cercle d'Euler X₅ (aussi noté N) d'un triangle ABC sont (cos (B−C) : cos (C−A) : cos (A−B))[8]. Ainsi, la droite centrale associée à ce centre est la droite d'équation trilinéaire

${\displaystyle x\cos(B-C)+y\cos(C-A)+z\cos(A-B)=0}$.

Le conjugué isogonal du centre du cercle d'Euler d'un triangle ABC est le point de Kosnita X₅₄ d'un triangle ABC[9] - [10]. Donc la droite centrale associée au centre du cercle d'Euler est la polaire trilinéaire du point de Kosnita. Ce point se construit ainsi :

Pour O le centre du cercle circonscrit du triangle ABC, on note O_A, O_B, O_C les centres des cercles circonscrits aux triangles BOC, COA, AOB respectivement. Les droites AO_A, BO_B et CO_C sont concourantes et ce point de concurrence est le point de Kosnita du triangle ABC.

Ce nom a été donné par John Rigby[11].

L'axe de l'homologie entre le triangle ABC et son triangle médian est à l'infini.

Les coordonnées trilinéaires du point de Lemoine X₆ (aussi noté K) du triangle ABC sont (a : b : c). Donc la droite centrale associée à ce centre est la droite d'équation trilinéaire

${\displaystyle ax+by+cz=0.}$

Cette droite est à l'infini dans le plan du triangle ABC. En effet, le conjugué isogonal du point de Lemoine d'un triangle ABC est le centre de gravité du triangle ABC. Ainsi l'axe central associé au point de Lemoine est la polaire trilinéaire du centre de gravité. C'est donc l'axe de l'homologie entre le triangle ABC et son triangle médian. Or, ici, les deux côtés homologiques sont parallèles, donc cet axe de l'homologie est à l'infini.

La droite d'Euler d'un triangle ABC est la droite passant par le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre et le centre du cercle d'Euler de ce triangle. Son équation trilinéaire est

${\displaystyle x\sin(2A)\sin(B-C)+y\sin(2B)\sin(C-A)+z\sin(2C)\sin(A-B)=0}$.

Le centre associé à cette droite est le centre X₆₄₇, qui est le centre radical du cercle circonscrit, du cercle d'Euler et du cercle de Brocard du triangle ABC.

La droite de Nagel d'un triangle ABC est la droite passant par le centre de gravité, le centre du cercle inscrit, le centre de Spieker et le point de Nagel de ce triangle. Son équation trilinéaire est

${\displaystyle x\times a\times (b-c)+y\times b\times (c-a)+z\times c\times (a-b)=0}$.

Le centre associé à cette droite est le centre X₆₄₉, qui est aussi l'intersection de l'axe anti-orthique et de l'axe de Lemoine.

L'axe de Brocard d'un triangle ABC est la droite passant par le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine de ce triangle. Son équation trilinéaire est

${\displaystyle x\sin(B-C)+y\sin(C-A)+z\sin(A-B)=0}$.

Le centre associé à cette droite est le centre X₅₂₃, qui est aussi le conjugué isgonal du foyer de la parabole de Kiepert du triangle ABC.