Triangle hyperbolique

Un triangle ayant un sommet idéal et un angle droit : le troisième angle est l'angle de parallélisme (en) pour la longueur du côté entre l'angle droit cet angle.

Un triangle où deux sommets sont des points idéaux et l'angle restant est un angle droit, l'un des premiers triangles hyperboliques décrits par Ferdinand Karl Schweikart (de).

Un triangle où tous les sommets sont des points idéaux. Le triangle idéal est le plus grand triangle possible en géométrie hyperbolique : la somme de ses angles est nulle.

Si C est un angle droit alors :

• le sinus de l'angle A est le sinus hyperbolique du côté opposé à l'angle divisé par le sinus hyperbolique de l'hypoténuse.

  ${\displaystyle \sin A={\frac {\rm {sinh(oppos{\acute {e}})}}{\rm {sinh(hypot{\acute {e}}nuse)}}}={\frac {\sinh a}{\sinh c}}}$ ;

• le cosinus de l'angle A est la tangente hyperbolique du côté adjacent divisée par la tangente hyperbolique de l'hypoténuse.

  ${\displaystyle \cos A={\frac {\rm {tanh(adjacent)}}{\rm {sinh(hypot{\acute {e}}nuse)}}}={\frac {\tanh b}{\tanh c}}}$ ;

• la tangente de l'angle A est la tangente hyperbolique du côté opposé divisée par le sinus hyperbolique du côté adjacent.

  ${\displaystyle \tan A={\frac {\rm {tanh(oppos{\acute {e}})}}{\rm {sinh(adjacent)}}}={\frac {\tanh a}{\sinh b}}}$ ;

• le cosinus hyperbolique du côté adjacent à l'angle A est le cosinus de l'angle B divisé par le sinus de l'angle A.

  ${\displaystyle {\rm {{cosh(adjacent)}={\frac {\cos B}{\sin A}}}}}$ ;

• le cosinus hyperbolique de l'hypoténuse est le produit des cosinus hyperboliques des côtés.

  ${\displaystyle {\rm {{cosh(hypot{\acute {e}}nuse)}={\rm {{cosh(adjacent)}{\rm {cosh(oppos{\acute {e}})}}}}}}}$ ;

• le cosinus hyperbolique de l'hypoténuse est aussi le produit des cosinus des angles divisés par le produit de leurs sinus[4].

  ${\displaystyle {\rm {{cosh(hypot{\acute {e}}nuse)}={\frac {\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}=\cot A\cot B}}}$.

On a aussi les équations suivantes[5] :

${\displaystyle \cos A=\cosh a\sin B}$ ;

${\displaystyle \sin A={\frac {\cos B}{\cosh b}}}$ ;

${\displaystyle \tan A={\frac {\cot B}{\cosh c}}}$ ;

${\displaystyle \cos B=\cosh b\sin A}$ ;

${\displaystyle \cosh c=\cot A\cot B}$.

L'aire d'un triangle rectangle est :

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {\pi }{2}}-\angle A-\angle B}$ ;

également[6],

${\displaystyle {\mathcal {A}}=2\arctan \left(\tanh {\frac {a}{2}}\tanh {\frac {b}{2}}\right)}$.

Un triangle oméga ayant un angle droit fournit la configuration pour examiner l'angle de parallélisme dans le triangle.

Dans ce cas en supposant l'angle B nul, les côtés a et c sont infinis et ${\displaystyle {\rm {{tanh}(\infty )=1}}}$, ce qui donne ${\displaystyle \cos A={\rm {tanh(adjacent)}}}$.

Les formules trigonométriques des triangles rectangles donnent également les relations entre les côtés s et les angles A d'un triangle équilatéral (un triangle où tous les côtés ont la même longueur et tous les angles sont égaux).

Les relations sont :

${\displaystyle \cos A={\frac {\rm {{tanh}{\frac {s}{2}}}}{\rm {{tanh}s}}}}$ ;

${\displaystyle \cosh {\frac {s}{2}}={\frac {\cos {\frac {A}{2}}}{\sin A}}={\frac {1}{2\sin {\frac {A}{2}}}}}$.

Que C soit un angle droit ou non, les relations suivantes sont valables : la loi hyperbolique des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi hyperbolique) est la suivante :

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C}$.

Son théorème dual est

${\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c}$.

Il existe aussi une loi hyperbolique des sinus :

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}}$

et une formule des cotangentes :

${\displaystyle \cos C\cosh a=\sinh a\coth b-\sin C\cot B}$,

qui se démontre de la même manière que la formule analogue en trigonométrie sphérique.