Triangle idéal

Triangle idéal et son cercle inscrit, avec les dimensions décrites dans le texte (AB = r , AC = d et AD = a), dans le modèle de Klein (à gauche) et dans le modèle du disque de Poincaré (à droite).

On se place dans le cas où K, la courbure de Gauss du plan hyperbolique, vaut –1 ; on a alors[2] :

• L'aire de tout triangle idéal est π[1];

• Le cercle inscrit dans un triangle idéal a pour rayon ${\displaystyle r={\frac {1}{2}}\ln 3=\operatorname {artanh} {\frac {1}{2}}=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}=\operatorname {arcosh} {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\approx 0,549}$[3]. La distance d'un point intérieur au triangle au côté le plus proche est inférieure ou égale à r, l'égalité n'ayant lieu que pour le centre du cercle inscrit.

• Les trois points de tangence du cercle incrit aux côtés forment un triangle équilatéral de côté ${\displaystyle d=\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{{\sqrt {5}}-1}}\right)=2\ln \varphi \approx 0,962}$[3], où ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ est le nombre d'or. Un cercle de rayon d centré en un point intérieur au triangle rencontre au moins deux des côtés du triangle.

• La distance d'un point situé sur un côté du triangle à un autre côté est inférieure ou égale à ${\displaystyle a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881}$, l'égalité n'ayant lieu que pour les trois points de tangence du cercle inscrit.