Espace métrique hyperbolique

Soit ${\displaystyle (X,d)}$ un espace métrique. Le produit de Gromov de deux points ${\displaystyle y,z\in X}$ par rapport à un troisième ${\displaystyle x\in X}$ est défini par la formule :

${\displaystyle (y,z)_{x}={\frac {1}{2}}\left(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z)\right).}$

On dit alors que ${\displaystyle X}$ est ${\displaystyle \delta }$-hyperbolique si pour tout quadruplet ${\displaystyle (x,y,z,w)\in X^{4}}$, on a la condition ${\displaystyle (x,z)_{w}\geq \min \left((x,y)_{w},(y,z)_{w}\right)-\delta }$ (si cette condition est vérifiée pour tous les ${\displaystyle x,y,z\in X}$ et un point fixé ${\displaystyle w_{0}}$, elle l'est pour tous les quadruples avec un nouvelle constante ${\displaystyle 2\delta }$ ; pour cette raison, on omet souvent l'indice ${\displaystyle w}$ en écrivant cette condition[1]).

Si ${\displaystyle X}$ est un espace de longueur, c'est-à-dire si deux points quelconques ${\displaystyle x,y\in X}$ sont les extrémités d'un segment géodésique ${\displaystyle [x,y]}$ (une image isométrique d'un intervalle ${\displaystyle [a,b]}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} }$[2]), une définition équivalente n'utilise que les propriétés des triangles de ${\displaystyle X}$[3] - [4] - [5].

${\displaystyle x}$

${\displaystyle y}$

${\displaystyle z}$

${\displaystyle B_{\delta }([x,y])}$

${\displaystyle B_{\delta }([z,x])}$

${\displaystyle B_{\delta }([y,z])}$

La condition pour qu'un triangle soit δ-mince.

Soit ${\displaystyle x,y,z\in X}$ ; un triangle géodésique de sommets ${\displaystyle x,y,z}$ est la réunion de trois segments géodésiques ${\displaystyle [x,y],[y,z],[z,x]}$. Si alors pour tout point ${\displaystyle m\in [x,y]}$ il existe un point ${\displaystyle p\in [y,z]\cup [z,x]}$ tel que ${\displaystyle d(m,p)\leq \delta }$, et s'il en est de même pour les deux autres côtés, on dit que le triangle est ${\displaystyle \delta }$-mince . Un espace de longueur est alors ${\displaystyle \delta }$-hyperbolique si tous ses triangles géodésiques sont ${\displaystyle \delta }$-minces ; cette définition est généralement attribuée à Eliyahu Rips.

Une autre définition utilise la notion de centre ${\displaystyle C}$-approximatif (ou ${\displaystyle C}$-centre) d'un triangle géodésique : il s'agit d'un point situé à une distance inférieure ou égale à ${\displaystyle C}$ de tous les côtés du triangle. Un espace de longueur est ${\displaystyle \delta }$-hyperbolique si tout triangle géodésique possède un ${\displaystyle \delta }$-centre.

Ces deux définitions ne coïncident pas exactement, mais il existe un ${\displaystyle k>1}$ tel qu'un espace ${\displaystyle \delta }$-hyperbolique au premier sens soit ${\displaystyle k\cdot \delta }$-hyperbolique au second, et réciproquement[6] ; la notion d'espace hyperbolique ne dépend donc pas de la définition choisie.

Le plan hyperbolique est un espace hyperbolique à ce sens ; en fait, le cercle inscrit d'un triangle géodésique (le plus grand cercle contenu dans le triangle) a un diamètre inférieur à celui d'un triangle idéal (dont tous les sommets sont à l'infini) et ceux-ci, tous isométriques entre eux, ont un cercle inscrit de rayon ln(3)[7]. Pour la même raison, le plan euclidien n'est pas hyperbolique, les cercles inscrits pouvant être de rayon arbitrairement grand.

Deux exemples « dégénérés » sont les espaces bornés, et la droite réelle (pour laquelle les triangles sont tous triviaux).

Les arbres sont les plus simples exemples d'espaces hyperboliques, et même 0-hyperboliques (tous les triangles sont homéomorphes à des tripodes, c'est-à-dire qu'il existe un point commun à leurs trois côtés).

Le 1-squelette d'une triangulation du plan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ est hyperbolique si chaque sommet est de degré au moins égal à 7.

Le plan hyperbolique de courbure de Gauss égale à -1 est 2-hyperbolique. Si on multiplie les distances d'un espace ${\displaystyle \delta }$-hyperbolique par un facteur ${\displaystyle \lambda >0}$, on obtient un espace ${\displaystyle \lambda \cdot \delta }$-hyperbolique ; la courbure est divisée par ${\displaystyle \lambda }$ et on voit que « plus un espace est courbé, plus sa constante d'hyperbolicité ${\displaystyle \delta }$ est petite ».

Le même résultat est vrai dans les espaces CAT de courbure négative. Toutefois, la courbure est une propriété essentiellement locale, alors que l'hyperbolicité ne « voit » pas ce qui se passe dans une région bornée : la réunion d'un espace hyperbolique et d'un compact reste hyperbolique, alors que la courbure peit changer de signe par endroits.

Une façon de préciser le sens de « propriété globale » est de demander qu'elle soit invariante par quasi-isométrie (en), c'est-à-dire par applications respectant les distances à transformation affine près[8]. C'est vrai en particulier de l'hyperbolicité : si un espace de longueur ${\displaystyle Y}$ est quasi-isométrique à un espace ${\displaystyle \delta }$-hyperbolique ${\displaystyle X}$, il existe ${\displaystyle \delta '}$ tel que ${\displaystyle Y}$ soit ${\displaystyle \delta '}$-hyperbolique[9].

La définition par le produit de Gromov revient à dire que les relations métriques entre quatre points quelconques sont les mêmes qu'elles le seraient dans un arbre, à la constante additive ${\displaystyle \delta }$ près. Plus généralement, tout sous-ensemble fini d'un espace hyperbolique ressemble à un arbre fini : si ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ sont des points d'un espace ${\displaystyle \delta }$-hyperbolique ${\displaystyle X}$, il existe un arbre fini ${\displaystyle T}$ et un plongement ${\displaystyle f:T\to X}$ tel que ${\displaystyle x_{i}\in f(T)}$ pour tous les ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, et ${\displaystyle \forall i,j:d(f^{-1}(x_{i}),f^{-1}(x_{j}))\leq d(x_{i},x_{j})\leq d(f^{-1}(x_{i}),f^{-1}(x_{j}))+C}$, où ${\displaystyle C}$ est une constante qu'on peut prendre égale à ${\displaystyle \delta \cdot h(n)}$ avec ${\displaystyle h(n)=O(\log n)}$, cette valeur étant la meilleure possible[10]. Ce résultat a pour conséquence que si l’on se déplace aléatoirement en ligne brisée dans un espace hyperbolique, on ne peut le plus souvent faire beaucoup mieux, pour retourner à son point de départ, que de revenir sur ses pas[11].

Dans tout espace hyperbolique ${\displaystyle X}$, on a la propriété suivante [12] :

Il existe des constantes ${\displaystyle \mu ,K>0}$ telles que pour tous les ${\displaystyle p,x,y\in X}$ avec ${\displaystyle d(p,x)=d(p,y)=:r}$, tout chemin ${\displaystyle \alpha }$ reliant ${\displaystyle x}$ à ${\displaystyle y}$ et restant à une distance ${\displaystyle >r}$ de ${\displaystyle p}$ est de longueur au moins ${\displaystyle e^{\mu \cdot d(x,y)}-K}$.

De façon non rigoureuse, cela signifie que le périmètre d'un « cercle » de rayon ${\displaystyle r}$ grandit exponentiellement avec ${\displaystyle r}$. Ce résultat rappelle le théorème isopérimétrique dans le plan euclidien ; le résultat suivant est plus précis[13] :

Soit ${\displaystyle X}$ un complexe cellulaire de dimension 2 dont le 1-squelette est hyperbolique, et tel que la frontière de toute 2-cellule contienne au plus ${\displaystyle C}$ 1-cellules (${\displaystyle C}$ étant une constante ne dépendant que de ${\displaystyle X}$). Alors il existe une constant ${\displaystyle \lambda >0}$ telle que pour tout sous-complexe fini ${\displaystyle Y\subset X}$, on a ${\displaystyle \operatorname {aire} (Y)\leq \lambda \cdot \operatorname {longueur(\partial Y)} }$.

L'aire d'un 2-complexe est le nombre de ses 2-cellules, et la longueur d'un 1-complexe est le nombre de ses 1-cellules. Cet énoncé est une inégalité isopérimétrique linéaire ; l'existence d'une telle inégalité caractérise les espaces hyperboliques au sens de Gromov[14]. Ces inégalités furent découvertes en s'inspirant de conditions venues de la théorie combinatoire des groupes.

Un sous-espace ${\displaystyle Y}$ d'un espace de longueur ${\displaystyle X}$ est dit quasi-convexe s'il existe une constante ${\displaystyle C}$ telle que toute géodésique de ${\displaystyle X}$ entre deux points de ${\displaystyle Y}$ reste à une distance de ${\displaystyle Y}$ inférieure à ${\displaystyle C}$. Tout sous-espace quasi-convexe d'un espace hyperbolique est également hyperbolique.

Tous les cônes asymptotiques d'un espace hyperbolique sont des arbres réels, et cette propriété est caractéristique des espaces hyperboliques[15].

Une suite ${\displaystyle (x_{n})\in X^{\mathbb {N} }}$ est dite convergente vers l'infini si pour un certain point ${\displaystyle p}$ (et alors pour tous) on a ${\displaystyle (x_{n},x_{m})_{p}\rightarrow \infty }$ quand ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle m}$ tendent vers l'infini. Deux suites ${\displaystyle (x_{n}),(y_{n})}$ convergentes vers l'infini sont équivalentes si${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }(x_{n},y_{n})_{p}=+\infty }$. La frontière de ${\displaystyle X}$, notée ${\displaystyle \partial X}$, est l'ensemble des classes d'équivalence des suites qui convergent vers l'infini[16].

Si ${\displaystyle \xi ,\eta }$ sont deux points de la frontière, leur produit de Gromov est défini par ${\displaystyle (\xi ,\eta )_{p}=\sup _{(x_{n})=\xi ,(y_{n})=\eta }\left(\liminf _{n,m\to +\infty }(x_{n},y_{m})_{p}\right)}$; il est fini si ${\displaystyle \xi \neq \eta }$. On peut alors définir une topologie métrisable sur ${\displaystyle \partial X}$ à partir des fonctions ${\displaystyle (\cdot ,\xi )}$[17] - [18].

Soit ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ deux plongements quasi-isométriques (en) de ${\displaystyle [0,+\infty [}$ dans ${\displaystyle X}$ (on dit que ce sont des rayons quasi-géodésiques). Ils sont dits équivalents si la fonction ${\displaystyle t\mapsto d(\alpha (t),\beta (t))}$ est bornée sur ${\displaystyle [0,+\infty [}$. Si l'espace ${\displaystyle X}$ est propre (c'-est-à-dire si toutes les boules fermées sont compactes) alors l'ensemble des classes d'équivalence de ces plongements est homéomorphe à ${\displaystyle \partial X}$[19].

Si ${\displaystyle X=T}$ est un arbre, sa frontière est son espace des bouts, lequel est un ensemble de Cantor. Fixant un point ${\displaystyle x\in T}$, on définit une distance naturelle sur ${\displaystyle \partial T}$ : deux points representés par les rayonss ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ d'origine ${\displaystyle x}$ sont à la distance ${\displaystyle \exp(-\operatorname {longueur} (\alpha \cap \beta ))}$.

Si ${\displaystyle X}$ est le disque de Poincaré, sa métrique hyperbolique est ${\displaystyle ds^{2}={4|dz|^{2} \over (1-|z|^{2})^{2}}}$, et sa frontière est le cercle unité.

Une quasi-isométrie entre deux espaces hyperboliques ${\displaystyle X,Y}$ induit un homéomorphisme entre leurs frontières.

En particuier, le groupe des isométries de ${\displaystyle X}$ agit par homéomorphismes sur ${\displaystyle \partial X}$. Cette action peut être utilisée pour classifier les isométries en fonction de leur comportement dynamique sur la frontière, généralisant le cas classique de la géométrie hyperbolique[20]. Si ${\displaystyle g}$ est une isométrie de ${\displaystyle X}$, l'un des trois cas suivants se produit :

1. ${\displaystyle g}$ a une orbite bornée sur ${\displaystyle X}$ (si ${\displaystyle X}$ est propre, cela implique que ${\displaystyle g}$ a un point fixe dans ${\displaystyle X}$). On dit que ${\displaystyle g}$ est une isométrie elliptique ;
2. ${\displaystyle g}$ a exactement deux points fixes ${\displaystyle \xi _{+},\xi _{-}}$ sur ${\displaystyle \partial X}$ , et toutes les orbites ${\displaystyle \{g^{n}\xi :n\geq 0\},\xi \not =\xi _{-}}$s'accumulent seulement sur ${\displaystyle \xi _{+}}$. On dit que ${\displaystyle g}$ est une isométrie hyperbolique ;
3. ${\displaystyle g}$ a exactement un point fixe sur ${\displaystyle \partial X}$, et toutes les orbites s'y accumulent. On dit que ${\displaystyle g}$ est une isométrie parabolique.