Quadrilatère de Lambert

En géométrie hyperbolique, soit AOBF un quadrilatère de Lambert, dont les trois angles ${\displaystyle {\widehat {A}},\ {\widehat {O}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {B}}}$ sont droits, et où F est opposé à O. ${\displaystyle {\widehat {F}}}$ est alors un angle aigu, et en prenant la courbure du plan hyperbolique K = -1, on a les relations suivantes[1] :

${\displaystyle \sinh AF=\sinh OB\cosh BF}$

${\displaystyle \tanh AF=\cosh OA\tanh OB}$

${\displaystyle \sinh BF=\sinh OA\cosh AF}$

${\displaystyle \tanh BF=\cosh OB\tanh OA}$

${\displaystyle \cosh OF=\cosh OA\cosh AF}$

${\displaystyle \cosh OF=\cosh OB\cosh BF}$

et également

${\displaystyle \sin {\widehat {F}}={\frac {\cosh OB}{\cosh AF}}={\frac {\cosh OA}{\cosh BF}}}$

${\displaystyle \cos {\widehat {F}}=\sinh OA\sinh OB=\tanh AF\tanh BF}$

${\displaystyle \cot {\widehat {F}}=\tanh OA\sinh AF=\tanh OB\sinh BF}$

${\displaystyle \sin {\widehat {AOF}}={\frac {\sinh AF}{\sinh OF}}}$

${\displaystyle \cos {\widehat {AOF}}={\frac {\tanh OA}{\tanh OF}}}$

${\displaystyle \tan {\widehat {AOF}}={\frac {\tanh AF}{\sinh OA}}}$

(où ${\displaystyle \tanh ,\cosh ,\sinh }$ sont les fonctions hyperboliques).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lambert quadrilateral » (voir la liste des auteurs).

• (en) George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975
• (en) M. J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4ème édition, W. H. Freeman, 2008.