Théorie des nombres transcendants

L'utilisation du terme transcendant pour désigner un objet qui n'est pas algébrique remonte au dix-septième siècle, lorsque Gottfried Leibniz a prouvé que la fonction sinus n'est pas une fonction algébrique[1]. La question de savoir si certaines catégories de nombres pourraient être transcendantes remonte à 1748[2], lorsqu'Euler a conjecturé[3] que si a et b sont rationnels alors le nombre log_ab est soit transcendant, soit rationnel.

La conjecture d'Euler n'a été prouvée qu'au XX^e siècle, mais près de cent ans après sa conjecture, Joseph Liouville a réussi à prouver l'existence de nombres qui ne sont pas algébriques, ce qui jusqu'alors n'était pas su avec certitude. Ses articles sur la question dans les années 1840 esquissaient des arguments utilisant des fractions continues pour construire des nombres transcendants. Plus tard, dans les années 1850, il a donné une condition nécessaire pour qu'un nombre soit algébrique, et donc une condition suffisante pour qu'un nombre soit transcendant[4]. Ce critère de transcendance n'était pas assez fort pour être nécessaire, en effet, il ne parvint pas à trouver la transcendance du nombre e. Mais son travail a fourni une classe de nombres transcendants, maintenant connus sous le nom de nombres de Liouville.

Le critère de Liouville dit que les nombres algébriques ne peuvent pas être bien approchés par des nombres rationnels. Donc si un nombre peut être très bien approché par des nombres rationnels alors il doit être transcendant. Il a montré que si α est un nombre algébrique de degré d ≥ 2 et ε un réel strictement supérieur à zéro, alors l'inégalité

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}}$

peut être satisfaite par seulement un nombre fini de nombres rationnels p/q. L'utiliser comme critère de transcendance n'est pas trivial, car il faut vérifier s'il existe une infinité de solutions p/q pour tout d ≥ 2.

Les travaux au début du XX^e siècle d'Axel Thue[5] et Carl Siegel[6] ont réduit l'exposant dans l'expression de Liouville de d + ε à d/2 + 1 + ε puis à 2√d – 1 + ε. Enfin, en 1955, Klaus Roth l'a réduit à 2 + ε. Ce résultat, connu sous le nom de théorème de Roth, est le meilleur possible, puisque si l'exposant 2 + ε est remplacé par 2, alors le résultat n'est plus vrai. Cependant, Serge Lang a conjecturé une amélioration du résultat de Roth ; en particulier, il a conjecturé que q^2+ε pourrait être réduit à q²log(q)^1+ε.

Le travail de Roth a effectivement mis fin au travail commencé par Liouville, et son théorème a permis aux mathématiciens de prouver la transcendance de nombreuses constantes, telles que la constante de Champernowne. Cependant, le théorème n'est toujours pas assez fort pour détecter tous les nombres transcendants, et de nombreuses constantes célèbres, telles que e et π, ne sont pas très bien approximables au sens de Liouville[7].

D'autres méthodes ont été développées au dix-neuvième siècle pour traiter des propriétés algébriques de e, et par conséquent de π à travers l'identité d'Euler. Ce travail a porté sur l'utilisation de fonctions dites auxiliaires (en). Ce sont des fonctions qui ont généralement beaucoup de zéros aux points considérés. Charles Hermite utilisait des fonctions auxiliaires qui approximaient les fonctions e^kx pour k entier, afin de prouver la transcendance de e en 1873, et son travail a été repris par Ferdinand von Lindemann, qui a démontré en 1882 que e^α est transcendant pour tout nombre algébrique α non nul[8]. En particulier, cela prouvait que π est transcendant car e^iπ est algébrique, et répondait ainsi par la négative au problème de l'antiquité de la quadrature du cercle. Karl Weierstrass a aussitôt développé son travail et prouvé le théorème de Lindemann-Weierstrass, qu'il n'a publié qu'en 1885.

En 1900, David Hilbert a proposé une collection de problèmes, les problèmes de Hilbert. Le septième d'entre eux, et l'un des plus difficiles pour Hilbert, s'interroge sur la transcendance des nombres de la forme a^b où a et b sont algébriques, a différent de zéro ou un, et b est irrationnel. En 1934, Alexander Gelfond et Theodor Schneider ont prouvé que tous ces nombres étaient en effet transcendants en utilisant une fonction auxiliaire dont l'existence était accordée par le lemme de Siegel. Ce résultat, le théorème de Gelfond-Schneider, a prouvé la transcendance des nombres tels que e^π et de la constante de Gelfond-Schneider.

L'avancée suivante dans ce domaine s'est produite dans les années 1960, quand Alan Baker a fait des progrès sur un problème posé par Gelfond sur les formes linéaires en logarithmes. Gelfond lui-même avait réussi à trouver une borne inférieure non triviale pour la quantité

${\displaystyle |\beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}|}$

où les quatre inconnues sont algébriques, les α différents de zéro et de un, et les β étant irrationnels. La preuve du théorème de Baker a résolu le problème du nombre de classes de Gauss pour un nombre de classes égal à 1. Ce travail a valu à Baker la médaille Fields pour ses applications dans la résolution d'équations diophantiennes. Baker a prouvé que si α₁, ..., α_n sont des nombres algébriques, différents de 0 et 1, et β₁, ..., β_n des nombres algébriques tels que 1, β₁, ..., β_n soient linéairement indépendants sur les nombres rationnels, alors le nombre

${\displaystyle \alpha _{1}^{\beta _{1}}\alpha _{2}^{\beta _{2}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}}$

est transcendant.

Dans les années 1870, Georg Cantor commença à développer la théorie des ensembles et, en 1874, publia un article prouvant que les nombres algébriques pouvaient être mis en bijection avec l'ensemble des entiers naturels, et donc que l'ensemble des nombres transcendants devait être indénombrable[9]. Plus tard, en 1891, Cantor a utilisé l'argument de la diagonale pour prouver le même résultat[10]. Alors que le résultat de Cantor est souvent cité comme étant purement existentiel et donc inutilisable pour construire un seul nombre transcendant[11] - [12], les preuves dans les deux documents susmentionnés donnent des méthodes pour construire des nombres transcendants[13].

Alors que Cantor usa de la théorie des ensembles, un développement récent a été l'utilisation de la théorie des modèles pour tenter de prouver un problème non résolu en théorie des nombres transcendants. Le problème est de déterminer le degré de transcendance du corps

${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n},\operatorname {e} ^{x_{1}},\ldots ,\operatorname {e} ^{x_{n}})}$

pour des nombres complexes x₁, ..., x_n linéairement indépendants sur les nombres rationnels. Stephen Schanuel a conjecturé que la réponse est au moins n, mais aucune preuve n'est connue. En 2004, cependant, Boris Zilber a publié un article qui utilisait des techniques de théorie des modèles pour créer une structure munie des opérations d'addition, de multiplication et d'exponentiation[14]. Zilber a fourni plusieurs critères qui prouveraient que la structure en question est C, mais n'a pas pu prouver l'axiome Strong Exponential Closure. Le cas le plus simple de cet axiome a depuis été prouvé[15], mais une preuve générale est nécessaire pour résoudre la conjecture.