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Lemme de Siegel

En approximation diophantienne, le lemme de Siegel[1] est un théorème d'existence d'une solution non nulle et de grandeur contrôlée à un système d'équations linéaires homogène à coefficients entiers (relatifs) ayant strictement plus d'inconnues que d'équations. Il est d'usage courant dans les démonstrations de transcendance. Les solutions ainsi contrôlées sont obtenues à l'aide de fonctions auxiliaires (en). L'existence de ces polynômes avait été démontrée par Axel Thue grâce au principe des tiroirs de Dirichlet[2].

Énoncé

L'énoncé le plus simple est le suivant[3] :

Soit une matrice à m lignes et n colonnes, dont les coefficients sont des entiers non tous nuls. Si n > m, alors le système

admet une solution telle que

.

Enrico Bombieri et Jeffrey Vaaler ont obtenu une majoration plus fine[4], par des techniques de géométrie des nombres.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Siegel's lemma » (voir la liste des auteurs).
  1. (de) Carl Ludwig Siegel, « Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen », Abh. Preuss. Akad. Wiss., Phys. Math. Kl.,‎ , p. 41-69 (lire en ligne).
  2. (de) Axel Thue, « Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen », J. reine angew. Math., vol. 135,‎ , p. 284-305 (lire en ligne).
  3. (en) Marc Hindry et Joseph H. Silverman, Diophantine Geometry, coll. « GTM » (no 201), (lire en ligne), p. 316.
  4. (en) E. Bombieri et J. Vaaler, « On Siegel's lemma », Invent. Math., vol. 73, no 1,‎ , p. 11-32 (DOI 10.1007/BF01393823).

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Lemme de Thue

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