Polynôme minimal (théorie des corps)

Les lettres ℂ, ℝ et ℚ désignent respectivement les corps des complexes, réels et rationnels.

• Tout élément k du sous-corps K est algébrique sur K, de polynôme minimal X – k.
• Tout nombre complexe non réel a + ib (avec a et b réels et b non nul) est algébrique sur ℝ, de polynôme minimal X² – 2a X + a² + b².
• L'unité imaginaire i a même polynôme minimal sur ℝ et ℚ, à savoir X² + 1.
• La racine carrée de deux, √2, est un nombre algébrique de polynôme minimal X² – 2 sur ℚ (différent de son polynôme minimal sur ℝ qui est X – √2).
• Le nombre algébrique √2 + √3 a pour polynôme minimal (sur ℚ) X⁴ − 10X² + 1 = (X - √2 - √3)(X - √2 + √3)(X + √2 + √3)(X + √2 - √3) (la minimalité découle de ce que le produit de deux de ses facteurs n'est pas dans ℚ[X], les racines du polynôme étant opposées 2 par 2).
• Les nombres transcendants (non-algébriques), comme π (théorème de Lindemann) n'ont donc pas de polynôme minimal sur ℚ.
• Si le polynôme unitaire P est irréductible sur K, il est le polynôme minimal de l'élément de son corps de rupture K[X]/(P) qui est la classe de X modulo P.
• Par exemple, 𝔽₂ étant le corps fini à 2 éléments, le polynôme X² + X + 1 de 𝔽₂[X] est irréductible ; en notant 𝔽₄ son corps de rupture (le corps fini à 4 éléments) et j la classe de X modulo ce polynôme, alors X² + X + 1 est le polynôme minimal de j, et également de j+1.
• Le n-ième polynôme cyclotomique Φ_n est unitaire et irréductible dans ℚ[X] : c'est le polynôme minimal sur ℚ de chacune de ses racines, les racines primitives n-ièmes de l'unité e^2ikπ/n, k premier avec n.
• Un entier algébrique est par définition un nombre algébrique dont le polynôme minimal est à coefficients entiers.

Ici K est un corps, L une extension de K et m un élément de L.

Dans l'article « Corps de rupture », en utilisant que l'anneau K[X] est euclidien donc principal, on démontre :

• Soit P un polynôme irréductible et unitaire de K[X], alors il existe une extension de K, de degré égal au degré de P, contenant un élément dont P est le polynôme minimal.

Les propriétés suivantes sont démontrées dans l'article détaillé.

• Si m est algébrique sur K et si son polynôme minimal est de degré n, alors toute extension contenant m est de degré infini ou multiple de n et la plus petite est de degré n.
  Cette propriété permet par exemple de démontrer que la trisection de l'angle ou la duplication du cube est en général impossible à la règle et au compas (cf. l'article « Tour d'extensions quadratiques »).
• Si m est algébrique sur une extension finie de K, alors m est algébrique sur K.
• Si m₁ et m₂ sont algébriques sur K, alors m₁ m₂ et m₁ + m₂ le sont aussi, et m₁^–1 l'est aussi si m₁ est non nul.

Un élément algébrique sur K est dit séparable (sur K) si toutes les racines de son polynôme minimal sur K, dans une extension où ce polynôme est scindé, sont simples.

Une extension algébrique de K est dite séparable si tous ses éléments le sont. C'est toujours le cas si K est parfait, par exemple si K est fini ou de caractéristique nulle.

Les extensions séparables possèdent des propriétés importantes, comme le théorème de l'élément primitif :

• Toute extension finie séparable est simple,

c'est-à-dire qu'elle contient un élément qui engendre l'extension, ou encore, dont le polynôme minimal est de degré égal au degré de l'extension.

Soit ψ_m la restriction de φ_m à K[m], le corps de rupture P_m, polynôme minimal de m. Si d est le degré de P_m, le K-espace vectoriel K[m] a pour base (1, m, m², … , m^{d – 1}), et la matrice M_K[m] de ψ_m dans cette base est la matrice compagnon de P_m, dont le polynôme caractéristique est égal à P_m.

Soit d'autre part (l₁, … , l_n) une base du K[m]-espace vectoriel L. Alors, la famille des mⁱl_j, pour i variant de 0 à d – 1 et j de 1 à n, forme une base du K-espace vectoriel L, dans laquelle la matrice M_L de φ_m s'écrit par blocs :

${\displaystyle M_{L}={\begin{pmatrix}M_{K[m]}&0&\cdots &0\\0&M_{K[m]}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&M_{K[m]}\\\end{pmatrix}}}$

Le polynôme caractéristique χ_m de m relativement à l'extension L de K est alors une puissance du polynôme minimal P_m :

• si L est de degré n sur K[m], alors :

${\displaystyle \chi _{m}(X)={\Big (}P_{m}(X){\Big )}^{n}}$

(on obtient ainsi le théorème de Cayley-Hamilton dans ce cas très particulier).

La norme de m relativement à l'extension L de K est en général notée N_L/K(m). Par définition, c'est un élément de K, égal au coefficient constant du polynôme caractéristique de m au signe éventuellement près (multiplié par (-1)ⁿ). C'est aussi le produit des racines de χ_m (comptées avec leurs multiplicités, et dans une extension où χ_m est scindé).

Quand φ_m est définie sur l'extension K[m], son polynôme minimal est le polynôme minimal de m et donc :

• la norme d'un élément m relativement à l'extension K[m] est le produit des racines de son polynôme minimal.

Étant donné l'expression du polynôme caractéristique en fonction du polynôme minimal ci-dessus on a:

• si L est de degré n sur K[m], la norme de m relativement à l'extension L de K est égale à la norme m relativement à l'extension K[m] à la puissance n, donc au produit des puissances n-ièmes des éléments conjugués de m.

La trace est de m relativement à l'extension L de K est souvent notée Tr_L/K(m). C'est, comme la norme, un élément de K, opposé au coefficient sous-dominant de χ_m qui, dans le cas particulier L = K[m], n'est autre que le polynôme minimal de m.

L'application qui à deux éléments a et b de L associe la trace de ab est appelée forme trace. Elle joue un rôle important en théorie algébrique des nombres, par exemple pour définir le discriminant.

• Antoine Chambert-Loir, Algèbre corporelle, Éditions de l’École Polytechnique, 2005 (lire en ligne)
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]

Galois

• Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions]
• (en) Emil Artin, Galois Theory, Notre Dame Press, Londres, 1971
• (en) Jörg Bewersdorff, Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective, AMS, 2006

Arithmétique

• C. F. Gauss (trad. Antoine Charles Marcelin Poullet-Delisle), Recherches arithmétiques [« Disquisitiones arithmeticae »], 1801
• Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail de l’édition]
• Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, 1970 [détail des éditions]

Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques, un cas particulier de polynôme minimal d'un nombre algébrique

Galois

• Le théorème fondamental de la théorie de Galois par B. le Stum, université de Rennes 1, 2001
• Un cours de DEA sur la théorie de Galois par A. Kraus, université Paris VI, 1998
• Trace, formes quadratiques et extensions de corps par Y. Coudene, université de Rennes 1, 2003

Arithmétique

• Bas Edixhoven et Laurent Moret-Bailly, Théorie algébrique des nombres, cours de maîtrise de mathématiques, université de Rennes 1, 2004 (lire en ligne)
• Eugène Cahen, « Sur l'arithmétique du corps de tous les nombres algébriques », dans Bull. SMF, vol. 56, 1928, p. 7-17