Théorème fondamental des fonctions symétriques

• Soit A un anneau, et B = A[X₁, …, X_n] l'algèbre des polynômes en n indéterminées à coefficients dans A. On dénote par S_n le groupe des permutations de 1, 2, …, n. Si P(X₁, …, X_n) est un élément de B, et σ un élément de S_n, on note P^σ le polynôme P(X_σ(1), …, X_σ(n)). Un polynôme de B est dit symétrique s'il est invariant sous l'action de S_n, c'est-à-dire s'il reste identique à lui-même lorsqu'on permute entre elles de n'importe quelle façon les variables qui le composent.
• Cette action de S_n sur B respecte la structure de A-algèbre de B (lemme 2, section « Démonstrations du théorème »), si bien que les polynômes symétriques forment une sous-algèbre. En d'autres termes, la somme et le produit de polynômes symétriques, et le produit d'un polynôme symétrique par un élément de A, sont symétriques.
• De même, si K est un corps, une fraction rationnelle à n variables est dite symétrique si elle est invariante sous l'action du groupe S_n (celle-ci étant définie comme pour les polynômes), et les fractions rationnelles symétriques forment un sous-corps du corps des fractions rationnelles en n indéterminées sur K.
• Les polynômes symétriques élémentaires s_n,k, pour n et k entiers naturels, sont les polynômes symétriques en n indéterminées définis par${\displaystyle s_{n,k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n}X_{j_{1}}\dotsm X_{j_{k}}}$,ou encore par${\displaystyle (X-X_{1})(X-X_{2})\dotsm (X-X_{n})=\sum _{k\in \mathbb {N} }(-1)^{k}X^{n-k}s_{n,k}(X_{1},\dots ,X_{n})}$.On ne s'intéresse qu'aux s_n,k pour 1 ≤ k ≤ n, car s_n,k est nul si k > n, et est constant (égal à 1) si k = 0.

Théorème : Soit A un anneau commutatif. Si P est un polynôme symétrique en n indéterminées à coefficients dans A, alors il existe un unique polynôme T, à coefficients dans A, tel que

P(X₁, …, X_n) = T(s_n,1, …, s_n,n),

les s_n,i étant les polynômes symétriques élémentaires en les indéterminées X₁, …, X_n.

Le corollaire suivant justifie l'appellation usuelle du théorème :

Si f est une fraction rationnelle symétrique en n indéterminées sur un corps K, alors il existe une unique fraction rationnelle Φ sur K telle que

f(X₁, …, X_n) = Φ(s_n,1, …, s_n,n).

En effet, toute fraction rationnelle symétrique est un quotient de deux polynômes symétriques.

Remarque

L'unicité de la représentation est équivalente au fait qu'il n'existe pas de polynôme T non nul vérifiant T(s_n,1, …, s_n,n) = 0. Si l'anneau A est un corps, cela signifie, dans le langage de la théorie des corps, que les polynômes symétriques élémentaires sont algébriquement indépendants. Ils forment donc une base de transcendance des fractions rationnelles symétriques en n indéterminées sur K.

Il existe beaucoup de démonstrations du théorème des fonctions symétriques[1]. Les plus courtes se servent de l'ordre lexicographique sur les monômes unitaires, puis d'une astuce pour abaisser le « degré lexicographique » d'un polynôme symétrique, ce qui fournit l'étape nécessaire à une démonstration par induction sur ce bon ordre. L'idée de cet algorithme remonte à Edward Waring en 1700[2] - [3] - [4] - [5]. La démonstration a été formalisée par Gauss en 1815[6] et « c'est la même qu'on trouve dans les manuels modernes[3] »[7].

Remarque

Cette preuve montre de plus que le degré total de T est au plus égal au maximum des degrés de P en chaque variable.

La démonstration suivante[8], à peine plus longue[9], peut sembler plus naturelle, et fournit des instruments théoriques qui préludent à la théorie de Galois.

Avec les notations précisées dans la section « Définition et remarques préliminaires », elle repose sur trois lemmes :

C'est un cas particulier de la propriété universelle des anneaux de polynômes.

Puisque A est un sous anneau de B, c'est une simple application du lemme 1, avec (a₁, …, a_n) = (X_σ(1), …, X_σ(n)). L'application inverse de ( )^σ est évidemment ( )^σ−1.

C'est encore une simple application du lemme 1, avec (a₁, …, a_n) = (X₁, …, X_i–1, 0, X_i+1, …, X_n).

On peut aussi utiliser la théorie de Galois pour démontrer directement la partie « existence » du corollaire du théorème, c'est-à-dire montrer que toute fraction rationnelle symétrique sur un corps K est une fonction rationnelle des polynômes symétriques élémentaires.

On en déduit alors la partie « existence » du théorème (tout polynôme symétrique sur A est une fonction polynomiale des polynômes symétriques élémentaires) pour A = Z puis, par généricité, pour tout anneau commutatif A.

Avant d'appliquer toute procédure de calcul, puis éventuellement à chaque étape, il est parfois préférable, pour alléger les calculs, de séparer le polynôme symétrique P en somme de polynômes égaux aux orbites des monômes a X₁^α₁ … X_n^α_n apparaissant dans P sous l'action de S_n. L'expression de P en termes des polynômes symétriques élémentaires sera alors la somme des expressions des polynômes orbites respectifs.

Il existe ensuite différentes méthodes pour le calcul effectif de l'expression du polynôme T apparaissant dans le théorème fondamental ci-dessus. On peut par exemple baser une procédure récursive de calcul de T sur l'une des deux démonstrations précédentes :

• utilisation de l'ordre lexicographique :
  • on repère dans P le monôme a X₁^α₁ … X_n^α_n pour lequel (α₁, …, α_n) est maximum,
  • on pose t_i = α_i – α_i+1 pour 1 ≤ i < n, et t_n = α_n,
  • on forme le polynôme symétrique Q = a s_n,1^t₁ … s_n,n^t_n,
  • l'expression de P – Q par les polynômes symétriques élémentaires est donnée par la procédure récursive : P – Q = W(s_n,1, …, s_n,n),
  • l'expression de P par les polynômes symétriques élémentaires s'ensuit : T = W + a S₁^t₁ … S_n^t_n ;
• double récurrence, sur le nombre de variables et le degré :
  • on forme le polynôme symétrique φ(P) à partir du polynôme P en annihilant les monômes multiples de X_n dans P,
  • le polynôme V, qui exprime φ(P) au moyen des polynômes symétriques élémentaires s_n–1,i est donné par la procédure récursive :φ(P) = V(s_n–1,1, …, s_n–1,n–1),
  • le polynôme P – V(s_n,1, …, s_n,n–1) est divisible par s_n,n, et son quotient Q par s_n,n est symétrique,
  • l'expression de Q par les polynômes symétriques élémentaires est donnée par la procédure récursive : Q = W(s_n,1, …, s_n,n),
  • l'expression de P par les polynômes symétriques élémentaires s'ensuit : T = V + W S_n.

Le but de cette section est d'illustrer, par un certain nombre d'applications et d'exemples, l'usage du théorème fondamental des fonctions symétriques. Il se trouve qu'il est principalement utilisé par l'intermédiaire d'un corollaire, qu'on invoque d'ailleurs souvent par le même nom. Ce corollaire ne fait que dire qu'une expression algébrique polynomiale à coefficients dans anneau commutatif intègre A, mettant en jeu les racines d'un certain nombre de polynômes unitaires à coefficients dans A, et symétrique en chaque groupe de racines, appartient en fait à A. Il s'applique en particulier si A est un corps K (dans ce cas, tous les éléments algébriques sur K sont entiers sur K).

On rappelle que pour tout anneau commutatif A, un élément d'une A-algèbre est entier sur A s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A. Un tel élément α est racine d'une infinité de polynômes unitaires ; nous supposerons donc un tel polynôme P_α fixé pour chaque élément entier α.

Notons que si A est intègre, les coefficients du polynôme P_α sont (au signe près) les fonctions symétriques élémentaires des racines de P_α, dans une clôture algébrique du corps Fr(A) des fractions de A. En effet, P_α étant unitaire, on a

où α, α', α" sont toutes les racines de P_α, et cette expression est l'image de (X – X₁)(X – X₂)(X – X₃)… par le morphisme de substitution (lemme 2 de la section précédente) qui envoie X₁, X₂, … sur α, α', ….

Note

L'anneau A peut être lui-même un anneau de polynômes en un certain nombre de variables « statiques » Y_k, par opposition aux « variables actives » X_i^(j).