Théorème fondamental de la théorie de Galois

Les trois premières propositions ci-dessous sont démontrées dans le paragraphe « Théorème fondamental de la théorie de Galois » de l'article sur les extensions de Galois et la quatrième dans le paragraphe « Morphisme dans la clôture algébrique » de l'article sur les extensions séparables. La cinquième est immédiate.

1. (Lemme d'Artin) Soient L un corps, G un groupe fini d'automorphismes de L, d'ordre n et K le sous-corps des éléments fixés par tous les éléments de G. Alors L est une extension galoisienne de K, de degré n.
2. Si L est une extension galoisienne de K et si F est un corps intermédiaire (${\displaystyle K\subset F\subset L}$), alors L est une extension galoisienne de F et Gal(L/F) est le sous-groupe de Gal(L/K) constitué des éléments qui laissent F invariant.
3. Si L est une extension galoisienne finie de K, alors le sous-corps des éléments de L fixés par tous les éléments de Gal(L/K) est réduit à K.
4. Si L est une extension finie séparable de F alors tout morphisme de F dans la clôture algébrique Ω se prolonge en un morphisme de L dans Ω.
5. Si L est une extension séparable de K et si F est un corps intermédiaire alors L est séparable sur F et F est séparable sur K.

L est une extension galoisienne de L^H et H est le groupe de Galois associé.

C'est une conséquence directe du lemme d'Artin (propriété 1 ci-dessus).

L'application qui à chaque H associe L^H est une bijection de l'ensemble des sous-groupes de G dans l'ensemble des corps intermédiaires compris entre K et L.

D'après la proposition précédente, Gal(L/L^H)=H. Inversement, pour tout corps intermédiaire F, L est galoisien sur F d'après la propriété 2 ci-dessus, et L^Gal(L/F)=F d'après la propriété 3. Ainsi, l'application qui à H associe L^H est bien une bijection, sa bijection réciproque étant l'application qui à tout corps intermédiaire F associe le sous-groupe Gal(L/F) de G.

L'extension L^H de K est galoisienne si et seulement si H est un sous-groupe normal de G. Alors, le groupe de Galois de cette extension est isomorphe au groupe quotient G/H.

Soient F et H se correspondant par la bijection ci-dessus, donc F = L^H et H = Gal(L/F). D'après la propriété 5 ci-dessus, F est toujours séparable sur K. Il s'agit donc de démontrer que :

(1) Si F est une extension normale de K alors il existe un morphisme surjectif de G dans Gal(F/K) de noyau H.

(2) Si H est un sous-groupe normal de G alors F est une extension normale de K.

Démontrons (1).

Comme F est supposé normal sur K, tout élément de G laisse F stable. Ceci permet de définir une application ψ de G dans Gal(F/K) qui à g associe sa restriction à F. Cette application est clairement un morphisme de groupes de noyau H. D'après la propriété 5 ci-dessus, L est séparable sur F, ce qui permet d'appliquer la propriété 4 : tout élément de Gal(F/K) se prolonge en un morphisme de L dans Ω, qui (par normalité de L sur K) est en fait un élément de G. Ainsi, ψ est surjectif.

Démontrons (2).

Un rapide calcul permet de constater que via la bijection de la deuxième proposition, l'action naturelle de G sur l'ensemble des corps intermédiaires correspond à l'action de G sur ses sous-groupes par conjugaison, c.-à-d. :

${\displaystyle \forall g\in G,\qquad L^{gHg^{-1}}=g(F).}$

Par conséquent, si H est normal dans G alors F est stable par tout élément de G. Cela suffit pour affirmer que F est normal sur K. En effet, soit f un morphisme de F dans Ω laissant K invariant. À nouveau d'après les propriétés 5 et 4 ci-dessus, f s'étend en un élément g de G, d'où f(F) = g(F) = F.

Correspondance de Galois

• Bernard Le Stum, « Le théorème fondamental de la théorie de Galois », sur université de Rennes 1, 2001
• Alain Kraus, « Théorie de Galois : Cours accéléré de DEA », université Paris 6, 1998
• (en) James Milne, « Fields and Galois Theory », 2017
• I. El Hage, « Les correspondances de Galois », sur les-mathématiques.net

• Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions]
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
• Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail de l’édition]