Lemme fondamental du calcul des variations

• Sous sa forme donnée ici, le lemme fondamental du calcul des variations permet d'obtenir l'équation d'Ostrogradski du calcul des variations (généralisation de l'équation d'Euler-Lagrange).
• Le résultat de ce lemme reste vrai pour f seulement localement intégrable, à valeurs dans un espace vectoriel réel de dimension finie : la conclusion est changée en « f est nulle presque partout »[12]. Ce point est fondamental en théorie de la mesure. Il montre en effet que si ${\displaystyle T_{f}}$ désigne la mesure de Radon définie par une fonction localement intégrable f, l'égalité ${\displaystyle T_{f}=0}$ équivaut à ${\displaystyle f=0}$ presque partout. Par passage au quotient, si ${\displaystyle {\bar {f}}}$ désigne la classe de Lebesgue de f, l'application linéaire ${\displaystyle {\bar {f}}\mapsto T_{f}}$ (qui est bien définie) est injective, et l'on peut donc plonger ${\displaystyle L_{loc}^{1}(U)}$ (l'espace des classes de Lebesgue de fonctions localement intégrables sur U) dans l'espace des mesures de Radon sur U (et a fortiori dans l'espace ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ des distributions sur U)[13].

• En faisant f = 0, on retrouve le Lemme fondamental du calcul des variations.
• On a vu dans la preuve comment se ramener au cas où ${\displaystyle g=0}$. Le lemme de Du Bois-Reymond a originellement été énoncé dans le cas ${\displaystyle E=\mathbb {R} }$ de la manière suivante : soit f continue sur [a, b], et supposons vérifiée l'égalité${\displaystyle \int _{a}^{b}f\left(t\right){\dot {h}}\left(t\right)dt=0}$pour toute fonction h de classe C¹ sur [a, b], vérifiant h(a) = h(b) = 0 ; alors f est constante. Une formulation voisine de celle encadrée ci-dessus est présentée (dans le cas ${\displaystyle E=\mathbb {R} }$ et en remplaçant, comme ici, les fonctions test par les fonctions C¹ nulles au bord) par Andrei Mikhailovich Razmadze (ru)[14].
• L'hypothèse du lemme de Du Bois-Reymond s'interprète en termes de distributions : elle signifie que la distribution T_g est la dérivée de la distribution T_f. Une généralisation naturelle du lemme est alors : si la dérivée d'une distribution T sur ]a, b[ est une distribution T_g associée à une fonction localement intégrable g, alors T = T_f pour une fonction absolument continue f, dont la dérivée en presque tout point t, et en tout point t où g est continue, existe et est égale à g(t)[15].

Soient E un espace vectoriel normé, F l'espace vectoriel ${\displaystyle C^{1}\left(\left[a,b\right],E\right)}$, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ le même ensemble mais vu comme espace affine de direction F, ${\displaystyle \Omega }$ un ouvert de ${\displaystyle {\mathcal {F}}\times F}$ et ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ une fonction réelle de classe C¹, définie sur la partie ${\displaystyle \left[a,b\right]\times \Omega }$ de ${\displaystyle \left[a,b\right]\times {\mathcal {F}}\times F}$, et dont on notera ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}}$ les dérivées partielles par rapport aux 2^e et 3^e variables. Cherchons les extrémales x de la fonctionnelle

${\displaystyle J:{\mathcal {F}}\to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto \int _{a}^{b}{\mathcal {L}}\left(t,x(t),{\dot {x}}(t)\right)\,\mathrm {d} t}$

telles que (i) ${\displaystyle x(a)}$ et ${\displaystyle x(b)}$ ont des valeurs fixées et (ii) ${\displaystyle (x,{\dot {x}})}$ est à valeurs dans ${\displaystyle \Omega .}$ Le sous-espace de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ constitué des fonctions x vérifiant (i) est un sous-espace affine ${\displaystyle {\mathcal {G}},}$ dont la direction G est le sous-espace vectoriel de F constitué des fonctions nulles en a et b. On restreint à G la norme naturelle de F :

${\displaystyle \left\Vert h\right\Vert _{1}=\sup _{t\in \left[a,b\right]}\left(\left\Vert h(t)\right\Vert +\left\Vert {\dot {h}}\left(t\right)\right\Vert \right).}$

Le sous-ensemble constitué des fonctions x vérifiant (ii) est alors un ouvert de ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$, et la différentielle de J au point x est la forme linéaire continue

${\displaystyle \mathrm {d} J(x):G\to \mathbb {R} ,\quad h\mapsto \delta J(x;h):=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}h+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}{\dot {h}}\right)\,\mathrm {d} t}$[16].

Une condition nécessaire pour que ${\displaystyle x}$ soit une extrémale de ${\displaystyle J}$ est ${\displaystyle \mathrm {d} J(x)=0}$, soit encore ${\displaystyle \delta J\left(x;h\right)=0}$ pour tout ${\displaystyle h\in G}$. Par le lemme de Du Bois-Reymond, une condition nécessaire d'extremum est donc que la fonction ${\displaystyle t\mapsto {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))}$ soit dérivable sur ${\displaystyle \left]a,b\right[}$ et de dérivée donnée par l'équation d'Euler-Lagrange :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))=0,}$

ce qui entraîne que la fonction est non seulement dérivable sur ${\displaystyle \left]a,b\right[}$ mais de classe C¹ sur ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ (« première condition de Weierstrass-Erdmann »).

On aurait pu être tenté d'intégrer par parties le second terme dans l'intégrale donnant l'expression initiale de ${\displaystyle \delta J(x;h)}$, puis appliquer lemme fondamental du calcul des variations, mais alors il aurait fallu supposer ${\displaystyle {\dot {x}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}}$ de classe C¹ (voir la démonstration classique de l'équation d'Euler-Lagrange).

La généralisation ci-dessus du lemme de Du Bois-Reymond est utilisée pour résoudre les problèmes de commande optimale.

On considère le critère

${\displaystyle J\left(u\right)=\int _{a}^{b}l\left(t,x(t),u(t)\right)dt}$

à minimiser sous la contrainte dynamique

${\displaystyle {\dot {x}}=\varphi (t,x,u)}$

pour des conditions initiales et finales fixées, où les fonctions l et ${\displaystyle \varphi }$ sont de classe C¹ de ${\displaystyle [a,b]\times \Omega _{1}\times \Omega _{2}}$ dans ℝ et ℝⁿ respectivement, où ${\displaystyle \Omega _{1}}$ et ${\displaystyle \Omega _{2}}$ sont des ouverts non vides dans ℝⁿ et ℝ^m respectivement. On recherche ici un « minimum faible », à savoir que la « commande optimale » ${\displaystyle {\hat {u}}}$ est cherchée parmi les fonctions de classe C¹ de ${\displaystyle [a,b]}$ dans ${\displaystyle \Omega _{2}}$ ; la dérivée ${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}}$ de l'« état » correspondant appartient alors nécessairement à l'espace E des fonctions continues de ${\displaystyle [a,b]}$ dans ℝⁿ ; E est un espace de Banach muni de la "norme du sup" habituelle. On utilise un multiplicateur de Lagrange ${\displaystyle \mu }$ appartenant au dual topologique de E, à savoir une mesure de Radon à valeurs dans le dual (ℝⁿ)*, et on forme le lagrangien

${\displaystyle {\mathfrak {L}}\left(x,{\dot {x}},u;\mu \right)=J(u)+\langle \mu ,{\dot {x}}-\varphi (t,x,u)\rangle =J(u)+\langle \nu ,\left(\left({\dot {x}}-\varphi (t,x,u)\right)^{T},{\dot {u}}^{T}\right)^{T}\rangle }$

avec ${\displaystyle \nu =\left(\mu ,0\right)}$, où l'on représente les vecteurs de ℝⁿ et ℝ^m par des colonnes et les covecteurs par des lignes. Écrivons que, pour que ${\displaystyle J(u)}$ soit minimum pour les valeurs ${\displaystyle {\hat {u}}}$, ${\displaystyle {\hat {x}}}$ de x et de u sous la contrainte dynamique considérée, il doit exister un multiplicateur de Lagrange ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ pour lequel ${\displaystyle d{\mathfrak {L}}\left({\hat {x}},{\dot {\hat {x}}},{\hat {u}};{\hat {\mu }}\right)=0}$. On a

${\displaystyle d{\mathfrak {L}}\left({\hat {x}},{\dot {\hat {x}}},{\hat {u}};{\hat {\mu }}\right):\left(h,{\dot {h}}\right)\mapsto \delta {\mathfrak {L}}\left({\hat {x}},{\dot {\hat {x}}},{\hat {u}},{\hat {\mu }};h,{\dot {h}}\right)}$

où ${\displaystyle h=\left(\delta x^{T},\delta u^{T}\right)^{T}}$ et

${\displaystyle \delta {\mathfrak {L}}\left({\hat {x}},{\dot {\hat {x}}},{\hat {u}},{\hat {\mu }};h,{\dot {h}}\right)=\int _{a}^{b}\left(\left\langle \nu \left(t\right),{\dot {h}}\left(t\right)-B(t)h(t)\right\rangle +\left\langle g\left(t\right),h\left(t\right)\right\rangle \right)dt}$,

${\displaystyle g(t)=\left({\frac {\partial l}{\partial x}},{\frac {\partial l}{\partial u}}\right),\nu =\left(\mu ,0\right),B=\left({\begin{array}{cc}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\\0&0\end{array}}\right).}$

où les différentielles partielles sont évaluées en ${\displaystyle \left(t,{\hat {x}}(t),{\hat {u}}(t)\right)}$. Le Lemme de Du Bois-Reymond généralisé implique que la mesure ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ est absolument continue. De plus, en appelant ${\displaystyle p^{\prime }}$ la densité de ${\displaystyle \mu }$, i.e. ${\displaystyle \mu =p^{\prime }.dt}$ où ${\displaystyle p^{\prime }}$ est une fonction continue de ${\displaystyle [a,b]}$ dans (ℝⁿ)* et, en définissant le « pseudo-hamiltonien »

${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(t,x,u,p^{\prime }\right)=\langle p^{\prime },\varphi \left(t,x,u\right)\rangle -l\left(t,x,u\right)}$,

qui implique évidemment

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}(t)={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p^{\prime }}}\left(t,{\hat {x}}(t),{\hat {u}}(t),{\hat {p^{\prime }}}(t)\right)}$ (« première équation canonique »)

on obtient les conditions

${\displaystyle {\dot {\hat {p^{\prime }}}}(t)=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial x}}\left(t,{\hat {x}}(t),{\hat {u}}(t),{\hat {p^{\prime }}}(t)\right)}$ (« deuxième équation canonique ») et

${\displaystyle 0={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial u}}\left(t,{\hat {x}}(t),{\hat {u}}(t),{\hat {p^{\prime }}}(t)\right)}$ (« condition de stationnarité »)

qui doivent être vérifiées presque partout.

Ceci peut être vu comme un cas particulier du principe du maximum de Pontryagin. Ce dernier s'obtient avec des « variations fortes » de la commande (variations « en aiguilles » ou « en pointes ») alors que ci-dessus on a réalisé des « variations faibles ». Le Principe du maximum entraîne dans le cas considéré la condition de stationnarité (car la maximisation s'effectue sur un ouvert) mais la réciproque est fausse.

• De même que dans le lemme de Du Bois-Reymond sur lequel il repose, on peut remplacer, dans le lemme de Haar, l'espace d'arrivée ℝ des fonctions test par un espace vectoriel normé ${\displaystyle E}$, et l'espace d'arrivée ℝ des fonctions ${\displaystyle u_{i}}$ par le dual ${\displaystyle E^{\prime }.}$
• Pour n = 1, on retrouve le lemme de Du Bois-Reymond.

Illustrons le lemme de Haar dans le cas n = 2. Soit ${\displaystyle \Omega _{1}}$, ${\displaystyle \Omega _{2}}$, ${\displaystyle \Omega _{3}}$ des ouverts non vides de ℝ, et

${\displaystyle {\mathcal {L}}:D\times \Omega _{1}\times \Omega _{2}\times \Omega _{3}\rightarrow \mathbb {R}$ :(x,y,p,q)\mapsto {\mathcal {L}}(x,y,p,q)}

une fonction de classe C¹ telle que les dérivées partielles ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial p}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q}}}$ sont également de classe C¹. Considérons la fonctionnelle

${\displaystyle J\left(y\right)=\iint \nolimits _{D}{\mathcal {L}}\left(x_{1},x_{2},p,q,y\right)dx_{1}dx_{2}}$

où y est une fonction de classe C¹ dans D, à valeurs réelles, ${\displaystyle p={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}}$ et ${\displaystyle q={\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}}$. On se propose de déterminer une condition nécessaire pour qu'une fonction ${\displaystyle y^{*}}$ soit une extrémale de classe C¹ ayant des valeurs fixées sur ${\displaystyle \partial D}$.

La différentielle de J au point y est

${\displaystyle dJ\left(y\right):h\mapsto \delta J\left(y;h\right)=\iint \nolimits _{D}\left(u.{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}+v.{\frac {\partial h}{\partial x_{2}}}+w.h\right)dx_{1}dx_{2}}$

avec ${\displaystyle u={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial p}}}$, ${\displaystyle v={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q}}}$ et ${\displaystyle w={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y}}}$.

(1) Supposons tout d'abord que ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ne dépende pas explicitement de y, donc que l'on ait ${\displaystyle w=0}$. Pour que ${\displaystyle y^{*}}$ soit solution du problème, il est nécessaire, d'après le lemme de Haar, qu'il existe une fonction ${\displaystyle \omega :D\rightarrow \mathbb {R} }$ de classe C¹ telle que ${\displaystyle u={\frac {\partial \omega }{\partial x_{2}}}}$ et ${\displaystyle v=-{\frac {\partial \omega }{\partial x_{1}}}}$.

(2) Dans le cas où ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ dépend explicitement de y, on se ramène au cas précédent en introduisant une fonction ${\displaystyle \Omega }$ de classe C² telle que

${\displaystyle 2\Omega \left(x_{1},x_{2}\right)=\iint \nolimits _{\left[a_{1},x_{1}\right]\times \left[a_{2},x_{2}\right]}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y}}d\xi _{1}d\xi _{2}}$

où ${\displaystyle \left[a_{1},x_{1}\right]\times \left[a_{2},x_{2}\right]\subset D}$. Soit h une fonction de classe C¹ s'annulant sur ${\displaystyle \partial D}$. Des intégrations par parties permettent d'obtenir

${\displaystyle 2\iint \nolimits _{D}h.w.dx_{1}dx_{2}=-2\iint \nolimits _{D}{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{2}}}dx_{1}dx_{2}=-2\iint \nolimits _{D}{\frac {\partial h}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{1}}}dx_{1}dx_{2}}$

et par conséquent

${\displaystyle \delta J\left(y;h\right)=\iint \nolimits _{D}\left\{\left(u-{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{2}}}\right).{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}+\left(v-{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{1}}}\right).{\frac {\partial h}{\partial x_{2}}}\right\}dx_{1}dx_{2}.}$

On a donc obtenu le

En particulier, si l'on recherche ${\displaystyle y^{*}}$ de classe C², ${\displaystyle \omega }$ sera de classe C² ; d'après le théorème de Schwarz, on obtient alors

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}={\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+w,{\frac {\partial v}{\partial x_{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+w}$

et par conséquent

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y}}-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left({\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\right)}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left({\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}\right)}}\right)=0.}$

Cette généralisation de l'équation d'Euler-Lagrange, appelée équation d'Ostrogradski, peut également s'obtenir à partir du lemme fondamental du calcul des variations.

• Lemme de Poincaré
• Courant (mathématiques)

(en) Oskar Bolza, Lectures on the Calculus of variations, Dover, 1904 (lire en ligne)