Courant (mathématiques)

Soit M une variété lisse. Un courant de dimension m sur M (et de degré dim(M) – m) est une forme linéaire, sur l'espace Ω^m
_c(M) des m-formes différentielles sur M à support compact, qui est continue au sens des distributions[2].

Soit ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{m}(M)}$ l'espace vectoriel réel des m-courants sur M. On définit un opérateur de bord

${\displaystyle \partial \colon {\mathcal {D}}_{m+1}(M)\to {\mathcal {D}}_{m}(M)}$

par

${\displaystyle \partial T(\omega ):=T({\rm {d}}\omega ).}$

On peut voir alors que les courants représentent une généralisation des sous-variétés. En effet, si N est une sous-variété compacte orientée de dimension m de M, on peut lui associer le courant [N] défini par

${\displaystyle [N](\omega )=\int _{N}\omega .}$

Le courant –[N] correspond à la variété –N (c'est-à-dire N munie de l'orientation opposée).

Alors, la définition du bord ${\displaystyle \partial T}$ d'un courant est justifiée par le théorème de Stokes :

${\displaystyle \int _{\partial N}\omega =\int _{N}d\omega .}$

On définit le support du courant T, noté

${\displaystyle \mathrm {spt} (T),}$

comme étant le plus petit fermé C tel que

${\displaystyle T(\omega )=0}$

si le support de ω est disjoint de C.

On note ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{m}}$ le sous-espace vectoriel de ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{m}}$ des courants à supports compacts.

Puisque

${\displaystyle \Omega _{c}^{0}(M)=C_{c}^{\infty }(M),}$

un exemple de 0-courant est donné par la fonction δ de Dirac :

${\displaystyle T(f)=f(0).}$.

Plus généralement, toute mesure signée régulière ${\displaystyle \mu }$ est un 0-courant :

${\displaystyle T(f)=\int f(x)\,d\mu (x).}$

Soit (x, y, z) les coordonnées dans R³. Alors, un exemple de 2-courant à support compact est :

${\displaystyle T(a\,dx\wedge dy+b\,dy\wedge dz+c\,dx\wedge dz)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}b(x,y,0)\,dx\,dy.}$

L'espace des m-courants possède naturellement une topologie faible-*, comme dual topologique des m-formes différentielles à support compact. Cela permet alors de définir la notion de convergence faible. On dit qu'une suite T_k converge faiblement vers T si

${\displaystyle T_{k}(\omega )\to T(\omega ),\qquad \forall \omega .\,}$

Il existe une norme plus forte sur l'espace des courants qui est la norme de masse.

Une norme intermédiaire existe aussi, la norme bémol.

À noter que deux courants sont proches :

• en norme de masse s'ils diffèrent d'une petite partie ;
• en norme bémol s'ils sont égaux à une petite déformation près.

• ${\displaystyle R_{m}}$ désigne les courants rectifiables[3]
• ${\displaystyle I_{m}}$ désigne les courants intégraux :

${\displaystyle I_{m}=\{T\in R_{m}\mid \partial T\in R_{m-1}\}}$

• ${\displaystyle F_{m}}$ désigne les integral flat chains (ou chaînes intégrales plates) :

${\displaystyle F_{m}=\{T+\partial S\mid T\in R_{m},S\in R_{m+1}\}}$

• ${\displaystyle P_{m}}$ désigne les chaînes polyédriques intégrales : c'est le sous-groupe additif de ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{m}}$ engendré par les simplexes orientés.

${\displaystyle \left.{\begin{array}{ccccccc}P_{m}&\quad \subset \quad &I_{m}&\quad \subset \quad &R_{m}&\quad \subset \quad &F_{m}\\\mathrm {chaines~poly{\acute {e}}driques~int{\acute {e}}grales} &&\mathrm {courants~int{\acute {e}}graux} &&{\text{courants rectifiables}}&&{\text{integral flat chains}}\\\cap &&\cap &&\cap &&\cap \\\mathbf {P} _{m}&\quad \subset \quad &N_{m}&\quad \subset \quad &\mathbf {R} _{m}&\quad \subset \quad &\mathbf {F} _{m}\\\mathrm {chaines~poly{\acute {e}}driques~r{\acute {e}}elles} &&{\text{courants normaux}}&&{\text{courants rectifiables}}&&{\text{real flat chains}}\\&&&&&&\cap \\&&&&&&{\mathcal {E}}_{m}\subset {\mathcal {D}}_{m}\end{array}}\right.}$

et (en) « Current », sur PlanetMath.