Groupe des quaternions

Considérant un espace vectoriel réel de dimension 4 dont une base est notée {1, i, j, k}, on le munit d'une structure d'algèbre associative en utilisant la table de multiplication ci-dessus et la distributivité. Le résultat est un corps gauche appelé le corps des quaternions. Le lemme de Schur généralise cette approche. Il montre en effet que l'algèbre (associative) des endomorphismes de toute représentation irréductible d'un groupe est une algèbre à division donc un corps, parfois non commutatif.

Inversement, on peut démarrer avec le corps des quaternions et définir le groupe des quaternions comme le sous-groupe multiplicatif constitué des 8 éléments ${\displaystyle {1,-1,i,-i,j,-j,k,-k}\,}$.

Sur tout corps de caractéristique différente de 2, le théorème de Maschke réduit l'étude des représentations de Q à celle de ses représentations irréductibles.

Faisons l'inventaire plus précis des représentations irréductibles de Q, à coefficients rationnels (ou réels, par extension des scalaires), et la description de celle de degré 4 à laquelle il est fait implicitement allusion ci-dessus.

• On construit la représentation régulière λ (à coefficients rationnels) du groupe Q et de son algèbre ℚ[Q] en les faisant agir sur ℚ[Q] par multiplication à gauche. Comme toute représentation régulière d'algèbre unifère, λ est fidèle (car λ(x)(1) = x). Notons (δ_g)_g∈Q la base canonique de l'espace vectoriel ℚ[Q] ≃ ℚ^Q ≃ ℚ⁸.
• La somme v₁ des 8 vecteurs de cette base est fixe par tous les λ(g) donc la sous-représentation λ₁, sur la droite vectorielle V₁ := ℚv₁, est la représentation unité de Q.
• Il existe trois autres droites stables et sous-représentations de degré 1, notées V_q = ℚv_q et λ_q pour q = i, j, k : par exemple, v_i := (δ₁ + δ_–1 + δ_i + δ_–i) – (δ_j + δ_–j + δ_k + δ_–k) est envoyé sur lui-même par λ(±1) et λ(±i), et sur son opposé par λ(±j) et λ(±k).
• Enfin, les quatre vecteurs w_q := δ_q – δ_–q pour q = 1, i, j, k engendrent un sous-espace W de dimension 4 supplémentaire de la somme (directe) des quatre droites précédentes. On vérifie que W est stable par λ : pour tout g ∈ Q, λ(g)(w_q) = εw_q', où ε ∈ {+, –} et q' ∈ {1, i, j, k} sont déterminés par l'égalité (dans Q) gq = εq'. Dans la sous-représentation correspondante de l'algèbre (en) ℚ[Q], que nous noterons w, on remarque que w(δ_–q) = –w(δ_q), c'est-à-dire que w se factorise par une représentation w' de l'algèbre quotient H_ℚ des « quaternions à coefficients rationnels » (pour une description matricielle de w', voir la représentation des quaternions comme matrices 4×4 de réels). Cette représentation w' est simplement la représentation régulière de l'algèbre H_ℚ (dont l'espace vectoriel s'identifie naturellement à W). L'irréductibilité de w' (donc celle de w) vient du fait que tout élément non nul x de H_ℚ est inversible donc H_ℚx = H_ℚ.

La représentation régulière de Q est donc somme directe de cinq représentations irréductibles : quatre de degré 1 (non équivalentes) et une de degré 4. Le morphisme d'algèbres ${\displaystyle \mathbb {Q} [Q]\to \mathbb {Q} ^{4}\oplus {\rm {H}}_{\mathbb {Q} },x\mapsto (\lambda _{1}(x),\lambda _{\rm {i}}(x),\lambda _{\rm {j}}(x),\lambda _{\rm {k}}(x),w(x)(1))}$ est injectif donc (par comparaison des dimensions) c'est un isomorphisme.

Sur ℂ, le groupe Q a également cinq représentations irréductibles, calculées dans l'article détaillé : les quatre caractères réels λ₁, λ_i, λ_j, λ_k ci-dessus et une représentation ρ, de degré 2 donc non réelle (en) (c'est un exemple de représentation induite, que l'on peut expliciter matriciellement). L'algèbre ℂ[Q] est donc isomorphe à ℂ⁴⊕M₂(ℂ).

On peut remarquer que la représentation réelle w ci-dessus est équivalente à celle obtenue à partir de ρ en considérant ℂ² comme un espace réel de dimension 4, et que w⊗ℂ est équivalente à ρ ⊕ ρ.

Les trois éléments i, j et k sont tous d'ordre 4 dans Q et deux quelconques d'entre eux engendrent le groupe entier. Q admet la présentation

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},yxy^{-1}=x^{-1}\rangle }$

On peut prendre, par exemple, x = i et y = j.

Tous les sous-groupes propres de Q sont cycliques.

Le centre et le sous-groupe des commutateurs de Q est le sous-groupe {±1}. Le groupe quotient Q/{±1} est isomorphe au groupe de Klein V. Il y a cinq classes de conjugaison : {1}, {-1}, {i, -i}, {j, -j} et {k, -k}.

Le groupe des automorphismes intérieurs de Q est isomorphe à Q modulo son centre, et est par conséquent aussi isomorphe au groupe de Klein. Le groupe des automorphismes de Q est isomorphe au groupe symétrique S₄. Le groupe des automorphismes extérieurs de Q est alors S₄/V qui est isomorphe à S₃.

Le groupe des quaternions Q peut aussi être vu comme un sous-groupe normal d'indice 3 du groupe spécial linéaire SL(2, F₃)[1].

• Quaternions de Hurwitz
• Liste des petits groupes
• Groupe de Heisenberg sur F₂ ≃ Groupe diédral D₈ (le seul autre groupe non abélien d'ordre 8, à isomorphisme près)

• (en) Vipul Naik, « Quaternion group », sur groupprops
• Bruno Vallette, « Le groupe ℍ₈ », 2009 (énoncé et corrigé d'un examen de L3 à l'université Nice-Sophia-Antipolis)