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Dynamique des populations

La dynamique des populations est une branche de l'Ă©cologie qui s’intĂ©resse Ă  la fluctuation dans le temps du nombre d'individus au sein d'une population d’ĂȘtres vivants. Elle a Ă©galement pour but de comprendre les influences environnementales sur les effectifs des populations. La structuration de la population par Ăąge, poids, l'environnement, la biologie des groupes, et les processus qui influent sur ces changements font Ă©galement partie de son champ d'Ă©tude. Des applications emblĂ©matiques incluent la pĂȘche, la gestion cynĂ©gĂ©tique, la gestion des zones protĂ©gĂ©es, le contrĂŽle des populations d'animaux dits nuisibles. La dynamique des populations humaines ainsi que leurs spĂ©cificitĂ©s par rapport aux autres populations animales sont Ă©tudiĂ©es par la science dĂ©mographique.

Migration des gnous le long de la riviĂšre Mara, en pays maasaĂŻ, en 2010.

Types de dynamiques

Il est possible de distinguer de grandes familles de dynamique des populations en fonction de leur comportement en l'absence de perturbations. Cette classification est étroitement liée à la théorie mathématique des systÚmes dynamiques et à la notion d'attracteur.

Dynamique stable

  • Population stationnaire : la population tend vers une distribution des Ăąges constante, indĂ©pendante des conditions initiales. Cela correspond au cas d'un attracteur ponctuel

Dynamique cyclique

Dynamique chaotique

La dynamique chaotique des populations correspond Ă  la variation non prĂ©dictible du nombre d’individus d’une population au cours du temps. Cette variation est due aux taux de croissance intrinsĂšques Ă©levĂ©s des populations et Ă  une sensibilitĂ© aux conditions initiales[1], ce qui peut avoir des consĂ©quences Ă©cologiques mais aussi Ă©volutives. Les dynamiques chaotiques peuvent ĂȘtre observĂ©es Ă  travers diffĂ©rents modĂšles, des plus simples aux plus complexes (mĂȘme pour des systĂšmes dĂ©terministes). Il est important de prĂ©ciser l'Ă©chelle de temps de la modĂ©lisation.

Perturbations Ă©cologiques

Les perturbations Ă©cologiques typiques de la dynamique des populations incluent :

  • les invasions biologiques, qui peuvent ĂȘtre ponctuelles ou invasions rĂ©currentes et plus ou moins rĂ©guliĂšres (de criquets pĂšlerins par exemple) ;
  • les perturbations d'origine anthropiques et pouvant conduire Ă  des disparitions massive d'espĂšces ou de populations, en raison des excĂšs de chasse, pĂȘche, brĂ»lage, etc. Ainsi peut-on spĂ©cifiquement Ă©tudier les dynamiques de « populations exploitĂ©es » ou surexploitĂ©es (dans le cadre de la gestion durable des pĂȘches par exemple[2]). C'est par ce type d'Ă©tude qu'on a montrĂ© que la pĂȘche en mer pouvait considĂ©rablement influencer la taille, la composition et la diversitĂ© des poissons dĂ©mersaux[3].

Modélisation mathématique

Bilan démographique

On note « Nt Â» le nombre d'individus dans une population donnĂ©e Ă  un temps t.

La variation du nombre d'individus lors d'une pĂ©riode Δt (une heure, un an
) peut ĂȘtre dĂ©composĂ©e sous la forme :

Avec :

  • n, le nombre de naissances lors de Δt ;
  • m, le nombre de morts lors de Δt ;
  • i, le nombre d'individus qui immigrent dans la population lors de Δt ;
  • e, le nombre d'individus qui Ă©migrent de la population lors de Δt.

On parle de bilan démographique : n-m constitue le solde naturel et i-e le solde migratoire de la population.

Outils mathématiques

En temps discret, on peut modéliser une population par une suite[4] (déterministe) ou une chaßne de Markov (voir processus de naissance et de mort).

Dans de nombreux cas, la modélisation est plus aisée en temps continu , on utilise alors des équations différentielles. On note N(t) le nombre d'individus dans une population donnée au temps t et on utilise la dérivée temporelle de N, , pour représenter la variation instantanée du nombre d'individus.

ModĂšles de dynamiques de populations

Pour modĂ©liser il est important de prĂ©ciser l'Ă©chelle de temps utilisĂ©e. Par exemple, la population de coquelicots dans un champ pourra ĂȘtre qualifiĂ©e de stable sur trois ou quatre ans, mais Ă  l'Ă©chelle d'une annĂ©e la population varie Ă©normĂ©ment. Ainsi on peut parler de temps discret ou continu.

Croissance géométrique et exponentielle

Quelques réalisations du modÚle de croissance exponentielle en temps continu. Remarquez que la population croßt indéfiniment.

Les modÚles de croissance géométrique et exponentielle supposent un taux de croissance proportionnel au nombre d'individus. On parle parfois de croissance Malthusienne en référence aux travaux de l'économiste Thomas Malthus. Leur dynamique est assez simple et peu réaliste: la population croßt indéfiniment, cependant leurs prédictions peuvent se révéler correctes sur des temps courts. Ils servent de base à des modÚles plus sophistiqués comme les modÚles matriciels de populations pour étudier la dynamique des populations structurées.

Soit une population au solde migratoire nul (e+i=0). On considÚre que le nombre de naissances (n) et de morts (m) est dépendant du nombre d'individus.

Si l'on considĂšre cette dĂ©pendance comme linĂ©aire (la proportionnalitĂ© mentionnĂ©e plus haut), en notant λ le taux de naissances et ÎŒ le taux de mortalitĂ© (c'est-Ă -dire le nombre de naissances -respectivement de morts- par individu lors de Δt.

En temps discret, l'Ă©volution du nombre d'individus peut ĂȘtre modĂ©lisĂ©e par une suite gĂ©omĂ©trique de raison r=1+λ-ÎŒ.

En temps continu, l'effectif de la population peut ĂȘtre modĂ©lisĂ© par l'Ă©quation diffĂ©rentielle ordinaire suivante:

Croissance logistique

Quelques réalisations du modÚle de croissance logistique en temps continu. La population tend vers sa capacité biotique K.

Les modÚles de croissance logistique sont un premier raffinement des modÚles Malthusiens dans lequel le taux de croissance de la population sature avec le nombre d'individus, ainsi la population ne peut pas atteindre une taille infinie : elle est limitée par une taille maximale appelée capacité biotique. La valeur de la capacité biotique dépend de l'environnement dans lequel évolue la population, elle est généralement liée à un épuisement des ressources.

En temps discret, l'effectif de la population peut ĂȘtre modĂ©lisĂ© par la suite logistique qui a la particularitĂ© d'exhiber une dynamique chaotique pour certaines valeurs de paramĂštres :

L'Ă©quivalent en temps continu est le modĂšle de Verhulst:

Dans les deux cas, la population possĂšde deux points d'Ă©quilibre en 0 (extinction) et en K (population stationnaire). Le modĂšle de croissance logistique en temps continu a pour particularitĂ© que toute population strictement positive (mĂȘme constituĂ©e d'une impossible « fraction d'individu ») tend vers sa capacitĂ© biotique K. Ce problĂšme est souvent corrigĂ© en ajoutant un terme d'effet Allee.

Du prévisible au chaotique

Une population prĂ©sentant une dynamique stable ou cyclique peut Ă©voluer vers une dynamique chaotique. Cette Ă©volution pourrait ĂȘtre due Ă  des changements des conditions environnementales, Ă  des phĂ©nomĂšnes de prĂ©dation ou de dispersion[5]. Cette transition a Ă©tĂ© dĂ©crite mathĂ©matiquement par plusieurs modĂšles qui en fonction des paramĂštres qu’ils Ă©tudient (dispersion, prĂ©dation, conditions environnementales) mĂšnent Ă  des dynamiques chaotiques.

ModĂšle en temps continu : Verhulst et Feigenbaum
Diagramme de Feigenbaum

Ce modĂšle a Ă©tĂ© initialement dĂ©couvert par Verhulst en 1840. PrĂšs d’un siĂšcle plus tard, le physicien Mitchell Feigenbaum a Ă©tudiĂ© les solutions quasi cycliques de ce modĂšle. Pour dĂ©crire le passage d’une dynamique pĂ©riodique Ă  une dynamique chaotique, Mitchell Feigenbaum a Ă©tabli une trajectoire appelĂ©e « cascade de doublement de pĂ©riode » (voir thĂ©orie du chaos). Ce modĂšle reprĂ©sentĂ© par le diagramme de bifurcation prĂ©sente donc les successions des dynamiques en fonction du taux de croissance intrinsĂšque des populations notĂ© r.

On obtient donc les interprétations suivantes :

  • r = 3, la population est dite stable. On a ainsi une oscillation amortie entre une valeur minimum et une valeur maximum. Ces deux valeurs correspondent aux Ă©tats dits stationnaires.
  • 3 < r < 3,569, la population prĂ©sente des cycles pĂ©riodiques. On a d’abord 2 Ă©tats stationnaires puis 4 avec 2 valeurs minimum et 2 valeurs maximum
  • r = 3,569 : le “point de Feigenbaum” est atteint et la dynamique devient chaotique prĂ©sentant des oscillations imprĂ©dictibles.
  • r > 3,569 : la population prĂ©sente une dynamique chaotique avec la cascade de dĂ©doublement: d’abord 8 Ă©tats stationnaires puis 12, puis 16, puis 32 et ainsi de suite
ModĂšle en temps discret : Ricker

C’est un modĂšle simple qui cherche Ă©galement Ă  analyser le passage d’une dynamique stable ou cyclique Ă  une dynamique chaotique en temps discret : il dĂ©crit le nombre d’individus dans une population Ă  t+1 par rapport au nombre d’individus de cette mĂȘme population au temps t.

Ce modĂšle s'Ă©crit :

On obtient alors la mĂȘme structure de graphique, c’est-Ă -dire un diagramme de bifurcation, que pour un modĂšle en temps continu, mais prĂ©sentant des variations Ă  des taux de croissance r diffĂ©rents.

On obtient ici les interprétations suivantes :

  • 0< r < 2, la population est stable et prĂ©sente un Ă©tat stationnaire.
  • 2 < r < 2,692, la population prĂ©sente une dynamique cyclique et oscille entre 2 Ă©tats stationnaires.
  • r > 2,692, la dynamique de la population devient chaotique et oscille d’abord entre 4 Ă©tats stationnaires, puis applique la cascade de dĂ©doublement avec 8 Ă©tats stationnaires, puis 12, puis 16, puis 32 et ainsi de suite. La longueur des intervalles entre ces phĂ©nomĂšnes de dĂ©doublement diminue quand r augmente.
Remarques

Entre deux Ă©vĂ©nements chaotiques, il est possible d’observer des retours Ă  une dynamique cyclique grĂące Ă  des attracteurs Ă©tranges (voir: thĂ©orie du chaos).

Dans les pĂ©riodes chaotiques, la moindre variation des valeurs initiales aura un impact trĂšs fort sur la prĂ©vision des valeurs futures Ă  l’inverse des dynamiques stables et cycliques. Cette instabilitĂ© peut ĂȘtre rĂ©sumĂ©e par cette question de Lorenz Edward : « Le battement d’ailes d’un papillon au BrĂ©sil provoque-t-il une tornade au Texas ? ».

Les dynamiques chaotiques prĂ©sentent donc un caractĂšre non prĂ©visible sur le long terme, on parle d’”effet papillon”.

Lorsque l’on se retrouve dans un environnement stochastique, une dynamique chaotique peut de façon alĂ©atoire mener Ă  l’extinction, Ă  l’invasion par des mutants ou au maintien de la population. Cependant, le chaos est trĂšs rare dans les milieux naturels, donc la probabilitĂ© de voir l’extinction d’une population due au chaos est trĂšs faible. Certains chercheurs suggĂšrent mĂȘme que le comportement chaotique pourrait confĂ©rer un avantage Ă©volutif[6] ce qui permettrait aux mutants d’envahir des populations.

Chaos à travers l'expérimentation

Il existe assez peu d’expĂ©riences dĂ©montrant les dynamiques chaotiques au sein d’une population[7]. Ces expĂ©riences ont cherchĂ© Ă  confronter les modĂšles mathĂ©matiques aux diffĂ©rents types de dynamiques (stable, cyclique ou chaotique) que l’on peut trouver dans la nature. Or, ces formules y sont peu applicables. Les communautĂ©s utilisĂ©es sont choisies pour leur simplicitĂ© : Ă©cosystĂšmes rĂ©duits Ă  3 espĂšces maximum dont les taux de croissance et de reproduction sont trĂšs rĂ©duits afin que les expĂ©riences soient rapides ; facteurs externes Ă  la population nĂ©gligĂ©s[8]. Dans la nature, les conditions environnementales sont fluctuantes, les chaĂźnes trophiques sont souvent complexes et les taux de croissance/reproduction bien moins rapide donc ces expĂ©riences ne sont pas reprĂ©sentatives.

Les conditions environnementales menant au chaos sont donc rarement rĂ©unies dans la nature[9]. En effet, pour observer une dynamique chaotique lors d’une phase stationnaire il faut avoir eu une longue pĂ©riode de stabilitĂ© des conditions environnementales au cours de la phase transitoire. Contrairement aux mathĂ©maticiens, les Ă©cologues ont un avis mitigĂ© sur l’existence du chaos dans la nature.

EspÚces en compétition

Une seconde extension des modÚles précédent introduit la dynamique couplée de multiples espÚces. Un représentant assez classique de cette famille de modÚles sont les équations de compétition de Lotka-Volterra :

N1 (respectivement N2) est le nombre d'individus de la premiÚre (respectivement seconde) espÚce, et leur taux de croissance r1 (respectivement r2) et capacité biotique K1 (respectivement K2). Le terme de compétition α12 représente l'effet de l'espÚce 2 sur la population de l'espÚce 1, et réciproquement pour α21 .

En fonction des paramĂštres ce modĂšle conduit Ă  l'extinction d'une des deux espĂšces, Ă  une dynamique cyclique ou Ă  la convergence du systĂšme vers un point d'Ă©quilibre oĂč les deux espĂšces survivent. La thĂ©orie moderne de la coexistence utilise ce modĂšle pour dĂ©velopper les outils mathĂ©matiques nĂ©cessaires Ă  la prĂ©diction de la coexistence dans les situations oĂč il y a plus de deux espĂšces.

Applications

DĂ©mographie humaine

En sciences sociales, la dĂ©mographie se rĂ©serve l’étude des populations humaines, qui diffĂšrent des populations animales non pas tant par les valeurs des paramĂštres biologiques (durĂ©e de vie, intervalle entre gĂ©nĂ©rations, etc.), que par la conscience qu’en a chaque individu, et qui permet l’interrogation des intĂ©ressĂ©s. Les individus ont un Ăąge, c’est-Ă -dire une date de naissance. Ils sont les sujets d'Ă©vĂ©nements, tels que mariage et procrĂ©ation, dont le repĂ©rage suppose soit une enquĂȘte auprĂšs des intĂ©ressĂ©s (recensement ou sondage), soit des institutions appropriĂ©es (Ă©tat civil). Ce repĂ©rage exige que soit connu le nom des individus, qui disparaĂźt ensuite dans le traitement des donnĂ©es. Les relevĂ©s des lieux de naissance, de sĂ©jour, de dĂ©cĂšs, supposent Ă©galement, notamment pour l’étude des migrations, un dĂ©coupage gĂ©ographique reconnu. La qualitĂ© et le progrĂšs des connaissances dĂ©mographiques dĂ©pendent donc des institutions administratives nĂ©cessaires Ă  la collecte des donnĂ©es et Ă  la garantie du secret.

L’étude de la prĂ©cision des effectifs de populations humaines, obtenus par enquĂȘte ou par calcul, ou celle de la datation des Ă©vĂ©nements dĂ©mographiques, en particulier naissances et dĂ©cĂšs, met ainsi en jeu la psychologie des individus, leur confiance ou leur mĂ©fiance envers les enquĂȘteurs et agents recenseurs, leur mĂ©moire sĂ©lective des Ă©vĂ©nements familiaux, leur degrĂ© d’adhĂ©sion aux institutions classificatoires.

La théorie de la Transition démographique permet d'expliquer l'évolution de la population mondiale de 1800 à 2100

Notes et références

  1. (en) R.M May, « Biological populations with nonoverlapping generations: stable points, stable cycles, and chaos », Science,‎
  2. Beverton R.J.H., Holt S.J.On the dynamics of exploited fish populations. Fishery Investigations, Series II 1957;19:1-533.
  3. Bianchi G., Gislason H., Graham K., Hill L., Jin X., Koranteng K., Manickchand-Heileman S., Paya I., Sainsbury K., Sanchez F., Zwanenburg K., Impact of fishing on size composition and diversity of demersal fish communities. ICES Journal of Marine Science 2000;57:558-571 (résumé).
  4. Alain Hillion, Les théories mathématiques des populations, Paris, P.U.F., coll. « Que sais-je ?, n°2258 », , 127 p. (ISBN 2-13-039193-1)
  5. (en) R.D, Holt, « Chaotic population dynamics favors the evolution of dispersal », The American Naturalist,‎
  6. (en) M. Doebeli, « The evolutionary advantage of controlled chaos », Proceedings of the Royal Society of London B: Biological Sciences,‎
  7. (en) R.F Costantino, « Chaotic dynamics in an insect population », Science,‎
  8. (en) L. Becks, « Experimental demonstration of chaos in a microbial food web », Nature,‎
  9. (en) K. Mcann, « Biological Conditions for Chaos in a Three‐Species Food Chain », Ecology,‎

Voir aussi

Bibliographie

  • (en) Ted. J. Case, An Illustrated Guide to Theoretical Ecology, Oxford University Press, 2000
  • Vito Volterra, Leçons sur la thĂ©orie mathĂ©matique de la lutte pour la vie, Gauthier-Villars, 1931 ; rĂ©impr. Jacques Gabay, 1990
  • Alfred J. Lotka, ThĂ©orie analytique des associations biologiques, Hermann, 1934/1939
  • Alain Hillion, Les thĂ©ories mathĂ©matiques des populations, PUF, coll. « Que sais-je ? » (no 2258), 1986
  • Nicolas BacaĂ«r, Histoires de mathĂ©matiques et de populations, Cassini, 2009
  • Pierre Auger, Christophe Lett et Jean-Christophe Poggiale, ModĂ©lisation mathĂ©matique en Ă©cologie, Dunod, 2010
  • (en) James D. Murray, Mathematical Biology, Springer-Verlag, 3e Ă©d. en deux volumes : Mathematical Biology: I. An Introduction, 2002 (ISBN 0-387-95223-3) ; Mathematical Biology: II. Spatial Models and Biomedical Applications, 2003 (ISBN 0-387-95228-4).
  • (en) Mimmo Iannelli et Andrea Pugliese, An Introduction to Mathematical Population Dynamics, Cham, Springer International Publishing Switzerland, (ISBN 978-3-319-03025-8, lire en ligne).

Articles connexes

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