Processus de naissance et de mort

On suppose que ${\displaystyle \mu _{0}=0}$. Si ${\displaystyle \pi _{n}(t)}$ est la probabilité de trouver le système dans l'état ${\displaystyle n}$ (avec ${\displaystyle n=0,1,2,...}$) à l'instant ${\displaystyle t}$, alors

${\displaystyle {\frac {d\pi _{n}(t)}{dt}}=\lambda _{n-1}\pi _{n-1}(t)-(\lambda _{n}+\mu _{n})\pi _{n}(t)+\mu _{n+1}\pi _{n+1}(t).}$

Autrement dit,

${\displaystyle {\frac {d\pi }{dt}}=\pi (t)A,}$

où ${\displaystyle A}$ est le générateur défini par

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-\lambda _{0}&\lambda _{0}&0&...&\\\mu _{1}&-\lambda _{1}-\mu _{1}&\lambda _{1}&0&...\\0&\mu _{2}&-\lambda _{2}-\mu _{2}&\lambda _{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots \\\end{pmatrix}}.}$

Si plus généralement on note ${\displaystyle P_{i,j}(t)}$ la probabilité d'être dans l'état ${\displaystyle j}$ à l'instant ${\displaystyle t}$ sachant que le système était dans l'état ${\displaystyle i}$ à l'instant ${\displaystyle t=0}$, alors ${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=AP(t)=P(t)A}$ et ${\displaystyle P(0)=I}$ (la matrice identité).

Le processus de Yule correspond à ${\displaystyle \mu _{n}=0}$ et ${\displaystyle \lambda _{n}=n\lambda }$.

Le processus linéaire de naissance et de mort correspond à ${\displaystyle \mu _{n}=n\mu }$ et ${\displaystyle \lambda _{n}=n\lambda }$.

La file M/M/1 correspond à ${\displaystyle \mu _{n}=\mu }$ pour ${\displaystyle n\geq 1}$ et ${\displaystyle \lambda _{n}=\lambda }$ pour ${\displaystyle n\geq 0}$.

Supposons que ${\displaystyle \lambda _{n}>0}$ pour tout ${\displaystyle n>0}$. Le processus de naissance et de mort a une durée de vie infinie si et seulement si

${\displaystyle \sum _{n>0}\left({\frac {1}{\lambda _{n}}}+{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}\lambda _{n-1}}}+\cdots +{\frac {\mu _{n}\cdots \mu _{2}}{\lambda _{n}\cdots \lambda _{2}\lambda _{1}}}\right)}$

est infini.

Par exemple, le processus de Yule a une durée de vie infinie car la série harmonique ${\displaystyle \sum 1/n}$ diverge.

On définit une suite de polynômes ${\displaystyle Q_{k}(x)}$ telle que ${\displaystyle Q_{0}(x)=1}$ et ${\displaystyle -xQ=AQ}$. Autrement dit,

${\displaystyle -xQ_{0}(x)=-\lambda _{0}Q_{0}(x)+\lambda _{0}Q_{1}(x)}$

et

${\displaystyle -xQ_{k}(x)=\mu _{k}Q_{k-1}(x)-(\lambda _{k}+\mu _{k})Q_{k}(x)+\lambda _{k}Q_{k+1}(x)}$

pour tout ${\displaystyle k\geq 1}$. Ces polynômes sont orthogonaux par rapport à une mesure de probabilité ${\displaystyle \psi }$ sur l'intervalle ${\displaystyle [0,+\infty [}$ et

${\displaystyle P_{i,j}(t)={\frac {\int _{0}^{\infty }e^{-xt}Q_{i}(x)Q_{j}(x)\,d\psi (x)}{\int _{0}^{\infty }Q_{j}(x)^{2}d\psi (x)}}.}$

Cette formule est due à Karlin et McGregor.

Lorsque ${\displaystyle \lambda _{0}=0}$, l'état 0 est absorbant. Ce cas intervient souvent en dynamique des populations et correspond à l'extinction de la population. Notons ${\displaystyle u_{n}}$ la probabilité que le système soit absorbé en 0 au bout d'un temps fini, si l'on part de l'état ${\displaystyle n>0}$. Posons

${\displaystyle U=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu _{1}\ldots \mu _{n}}{\lambda _{1}\ldots \lambda _{n}}}.}$

Si ${\displaystyle U=+\infty }$, alors ${\displaystyle u_{n}=1}$ pour tout ${\displaystyle n>0}$.

Si ${\displaystyle U<+\infty }$, alors

${\displaystyle u_{n}={\frac {1}{1+U}}\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {\mu _{1}\ldots \mu _{k}}{\lambda _{1}\ldots \lambda _{k}}}.}$

Par exemple, pour le processus linéaire de naissance et de mort, on voit que ${\displaystyle U=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {\mu }{\lambda }}\right)^{n}}$. L'extinction est certaine lorsque ${\displaystyle \mu \geq \lambda }$.

Supposons ${\displaystyle U<+\infty }$. Notons ${\displaystyle T_{n}}$ l'espérance du temps d'extinction lorsque le système part de l'état ${\displaystyle n}$. Alors

${\displaystyle T_{1}={\frac {1}{\mu _{1}}}+{\frac {\lambda _{1}}{\mu _{1}\mu _{2}}}+\cdots +{\frac {\lambda _{1}\ldots \lambda _{k-1}}{\mu _{1}\ldots \mu _{k}}}+\cdots }$

et

${\displaystyle T_{n}=\sum _{k=1}^{n-1}\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {\lambda _{k+1}\ldots \lambda _{i-1}}{\mu _{k+1}\ldots \mu _{i}}}}$

pour ${\displaystyle n\geq 2}$.

Par exemple, pour le processus linéaire de naissance et de mort avec ${\displaystyle \mu >\lambda }$, on trouve que

${\displaystyle T_{n}={\frac {1}{\lambda }}\sum _{i\geq 1}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{i}\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k+i}}.}$

Lorsque ${\displaystyle n\to +\infty }$, on a ${\displaystyle T_{n}\sim (\log n)/(\mu -\lambda ).}$

Lorsque les taux de naissance et de mort sont des polynômes en ${\displaystyle n}$, on peut faire le lien avec certaines équations aux dérivées partielles. Ainsi, pour le processus linéaire de naissance et de mort, posons

${\displaystyle g(t,x)=\sum _{n=0}^{\infty }\pi _{n}(t)x^{n}.}$

On montre que

${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial t}}=(\lambda x-\mu )(x-1){\frac {\partial g}{\partial x}}.}$

En utilisant la méthode des caractéristiques, on en déduit que

${\displaystyle g(t,x)=\left({\frac {(\lambda x-\mu )-\mu (x-1)e^{(\lambda -\mu )t}}{(\lambda x-\mu )-\lambda (x-1)e^{(\lambda -\mu )t}}}\right)^{n_{0}}}$

si l'on part de l'état ${\displaystyle n_{0}}$ à ${\displaystyle t=0}$. On en déduit que l'espérance ${\displaystyle E(t)}$ de la population au temps ${\displaystyle t}$ est

${\displaystyle E(t)={\frac {\partial g}{\partial x}}(t,1)=n_{0}e^{(\lambda -\mu )t}.}$

On en déduit aussi la probabilité ${\displaystyle \pi _{0}(t)}$ d'extinction au temps ${\displaystyle t}$ :

${\displaystyle \pi _{0}(t)=g(t,0)=\left({\frac {\mu e^{(\lambda -\mu )t}-\mu }{\lambda e^{(\lambda -\mu )t}-\mu }}\right)^{n_{0}}}$

si ${\displaystyle \lambda \neq \mu }$. En particulier, si ${\displaystyle \lambda >\mu }$, on a ${\displaystyle \pi _{0}(t)\to (\mu /\lambda )^{n_{0}}}$ quand ${\displaystyle t\to +\infty }$.

Les quasi-processus de naissance et de mort sont les processus de Markov en temps continu sur un espace d'états discret dont le générateur est tridiagonal par blocs :

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}Q_{0,0}&Q_{0,1}&0&\ldots &\\Q_{1,0}&Q_{1,1}&Q_{1,2}&0&\\0&Q_{2,1}&Q_{2,2}&Q_{2,3}&\\\vdots &0&\ddots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}.}$

• Processus de quasi-naissance et de mort

• P. Désesquelles, Les processus de Markov en biologie, sociologie, géologie, chimie, physique et applications industrielles, Ellipses, 2016.
• W. Feller, Die Grundlagen der Volterraschen Theorie des Kampfes ums Dasein in Wahrscheinlichkeitstheoretischer Behandlung, Acta Biotheoretica n^o 5, 1939, p. 11-40.
• A. Hillion, Les théories mathématiques des populations, PUF, 1986.
• S. Karlin, J.L. McGregor, The differential equations of birth-and-death processes, and the Stieltjes moment problem, Transactions of the American Mathematical Society, 1957.
• S. Méléard, Modèles aléatoires en écologie et évolution, Springer, 2016.
• Ph. Picard, Sur les modèles stochastiques logistiques en démographie, Ann. Inst. Henri Poincaré n^o 2, 1965, p. 151-172
• W. Scoutens, Stochastic Processes and Orthogonal Polynomials, Springer, 2000.
• B. Sericola, Chaînes de Markov - Théorie, algorithmes et applications, Lavoisier, 2013.