Processus de quasi-naissance et de mort

Les états sont de la forme ${\displaystyle \{(i,j);i\geq 0,1\leq j\leq m\}}$, où ${\displaystyle i}$ est appelé le niveau et ${\displaystyle j}$ est appelé la phase. Le générateur est de la forme

Q=${\displaystyle {\begin{pmatrix}Q_{0,0}&Q_{0,1}&0&\ldots &\\Q_{1,0}&Q_{1,1}&Q_{1,2}&0&\\0&Q_{2,1}&Q_{2,2}&Q_{2,3}&\\\vdots &0&\ddots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}},}$

avec ${\displaystyle Q_{0,0}e+Q_{0,1}e=0}$ et ${\displaystyle Q_{i,i-1}e+Q_{i,i}e+Q_{i,i+1}e=0}$ pour tout ${\displaystyle i\geq 1}$, où ${\displaystyle e=(1,1,...,1)}$.

Le cas le plus étudié est celui où le générateur est de la forme

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}B_{1}&B_{2}\\B_{0}&A_{1}&A_{2}\\&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&\ddots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}}$

Pour déterminer la distribution stationnaire ${\displaystyle \pi }$, telle que ${\displaystyle \pi Q=0}$, on voit que les composantes ${\displaystyle \pi _{i}}$ vérifient

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}B_{1}+\pi _{1}B_{0}&=0\\\pi _{0}B_{2}+\pi _{1}A_{1}+\pi _{2}A_{0}&=0\\\pi _{1}A_{2}+\pi _{2}A_{1}+\pi _{3}A_{0}&=0\\&\vdots \\\pi _{i-1}A_{2}+\pi _{i}A_{1}+\pi _{i+1}A_{0}&=0\\&\vdots \\\end{aligned}}}$

On cherche une solution de la forme

${\displaystyle \pi _{i}=\pi _{1}R^{i-1},}$

où ${\displaystyle R}$ est la matrice de Neuts, solution de ${\displaystyle A_{2}+RA_{1}+R^{2}A_{0}=0}$, qui peut être calculée numériquement. Alors

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\pi _{0}&\pi _{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{1}&B_{2}\\B_{0}&A_{1}+RA_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

donne ${\displaystyle \pi _{0}}$ et ${\displaystyle \pi _{1}}$ et donc par itération ${\displaystyle \pi _{i}}$ pour tout ${\displaystyle i}$.

Si la matrice ${\displaystyle A=A_{0}+A_{1}+A_{2}}$ est irréductible, si ${\displaystyle \alpha }$ est le vecteur ligne de probabilité stationnaire de ${\displaystyle A}$ (de sorte que ${\displaystyle \alpha A=0}$ et ${\displaystyle \alpha e=1}$), et si l'on pose ${\displaystyle \mu =\alpha (A_{0}-A_{2})e}$, alors la chaîne est transitoire lorsque ${\displaystyle \mu >0}$, récurrente nulle lorsque ${\displaystyle \mu =0}$ et récurrente positive lorsque ${\displaystyle \mu <0}$.

• Processus de naissance et de mort

• B. Sericola : Chaînes de Markov - Théorie, algorithmes et applications. Lavoisier, 2013.
• Y. Djabali : Stabilité des processus QBD. Mémoire, Université de Béjaïa, 2011.