Biomathématique

Cette technique de modélisation convient très bien aux systèmes de transformations chimiques et d'échanges cellulaires. On peut néanmoins l'étendre à bien d'autres circonstances. Plusieurs étapes sont nécessaires pour élaborer un modèle compartimental :

• définir la substance à étudier et ses transformés dans les différents compartiments (qui sont en fait des classes d'équivalence) ;
• déterminer par l'observation les constantes de proportionnalité d'échange entre les compartiments ;
• faire le bilan de masse (débit entrant – débit sortant) à l'aide d'un système différentiel linéaire ;
• faire les approximations nécessaires pour simplifier la résolution numérique.

Les biologistes utilisent largement cette méthode pour l'analyse quantitative des flux métaboliques, de la diffusion des marqueurs et des médicaments en pharmacocinétique .

De nombreux systèmes biologiques sont constitués d'interaction entre deux ou plusieurs substances. Si l'on modélise l'évolution au cours du temps et dans l'espace, des concentrations ou des pressions partielles de ces substances on est conduit à des systèmes aux dérivées partielles. Dans le cas d'une dimension de l'espace x on obtient des EDP du type :

${\displaystyle {\partial y \over \partial t}(t,x)=K\,\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x^{2}}+c\,\cdot {\partial \over \partial x}(Q,y)+f(y,z)}$

où y et z sont les concentrations de deux substances, K est une constante de diffusion, c est la constante de convection ou de transport, Q est le débit de convection et f est une fonction donnée qui décrit l'interaction entre les deux substances.

Des relations supplémentaires qui émanent de l'observation (conditions initiales et limites) sont nécessaires pour assurer l'unicité de la solution. On utilise concrètement ce modèle pour l'étude quantitative des échanges gazeux respiratoires entre les alvéoles et les capillaires sanguins. .

Les modèles stochastiques conviennent pour un nombre peu élevé de molécules, c'est-à-dire les systèmes où le bruit stochastique est non négligeable. Ils sont basés sur les statistiques.

• Modèle stochastique en écologie [PDF]
• Modélisation stochastique du rythme circadien [PDF]

Pour modéliser l’évolution d’une colonie bactérienne, on a souvent recours au système d’équations différentielles de Cherruault[1] (1998) :

${\displaystyle {\begin{cases}dX/dt=(\mu (X,S)-U)X\\dS/dt=-k\mu (X,S)X+U(V-S)\\X(0)=X_{0},S(0)=S_{0}.\end{cases}}}$

• k est une constante d’échanges identifiée par les données expérimentales ;
• X et S sont respectivement la concentration de la biomasse et du substrat dans le milieu nutritif ;
• V est l’entrée de substrat ;
• U(t) est une fonction de contrôle (qui peut correspondre p. ex. à la concentration de l’éthanol dans un processus de fermentation alcoolique) ;
• µ(t) est une fonction non linéaire qui définit l’échange entre le compartiment bactérien X et le milieu de culture S. Cette fonction est calculée selon la loi de Monod, qui a pour expression :

${\displaystyle \mu (X,S)={\frac {\nu _{X}\cdot S}{(K_{M}+S)}}.}$

Ici K_M est la constante de Michaelis et ν_X une constante expérimentale.

La dynamique des populations a été traditionnellement un domaine de prédilection en biomathématiques. Des modèles décrivant l'évolution des populations ont fait l'objet de plusieurs études qui datent du XIX^e siècle. Entre autres, les équations de Lotka et Volterra (1925) permettent de modéliser l’évolution au cours du temps des proies et des prédateurs dans un écosystème. On les appelle quelquefois modèles “proies-prédateurs”, la formule générale est :

${\displaystyle {d \over dt}N_{i}(t)=N_{i}(t)(r_{i}-\sum _{j=1}^{p}d_{i,j}N_{j}(t))}$

• N_i est le nombre d’individus de l’espèce (i), avec N₀ l'effectif initial ;
• p est le nombre d’espèces en compétition ;
• r_i est le taux de croissance spécifique de l’espèce (i) ;
• d_{i, j} sont les coefficients qui mesurent l’ampleur avec laquelle la présence d'une l’espèce (j) affecte la survie de l’espèce (i).

Le mathématicien anglais Alan Turing, a cherché à jeter les bases mathématiques d'une théorie de la morphogenèse. Dans un article publié en 1952, intitulé : The chemical basis of morphogenesis[2], il a montré comment une réaction chimique couplée à un phénomène de diffusion pouvait conduire à des distributions périodiques dans l'espace des concentrations de certaines espèces chimiques. Selon Turing, un système de substances chimiques appelées "morphogènes" réagissant ensemble et diffusant à travers les tissus rend adéquatement compte du phénomène principal de morphogenèse. À condition toutefois que des interactions entre réactions chimiques aient lieu avec autocatalyse, rétroaction, échanges croisés, etc. et donnent lieu à des processus non linéaires avec rupture de symétrie[3].

Le système mixte de Marchuk (1994)[4] est l'un des modèles les plus courants qui décrivent l’évolution d’une maladie infectieuse d'origine virale. Il prend en considération les réactions de défense de l’organisme qui sont traduites par des équations mathématiques. Ce modèle permet d’expliquer les caractéristiques fonctionnelles du système immunitaire ainsi que le rôle de la température, le mécanisme de la réponse immunitaire, la nature de l'agent viral, etc. [PDF]

Ce domaine a reçu un important élan grâce au développement de la biologie moléculaire.

• Modélisation des neurones et des agents cancérigènes.
• Mécanique des tissus biologiques.
• Enzymologie et cinétique enzymatique (avec par exemple le mécanisme de correction cinétique).
• Modélisation et simulation du cancer.
• Modélisation de l'interaction entre des populations de cellules en mouvement.
• Modélisation mathématique de la formation de cicatrices dans les tissus.
• Modélisation mathématique de la dynamique intracellulaire.

La modélisation est normalement faite avec une ou plusieurs équations différentielles ordinaires (EDO). Dans la plupart des cas, de tels systèmes d'EDO peuvent être résolus, de manière analytique ou numérique. Une méthode populaire pour résoudre numériquement les EDO est l'algorithme Runge-Kutta.

La modélisation stochastique est plus compliquée et utilise l'Algorithme Gillespie (en). L'algorithme Gillespie est normalement utilisé pour simuler un petit nombre de systèmes chimiques (comme 100 copies d'un ARNm, de protéines, ou de ribosomes). Cet algorithme simule exactement un échantillon de la solution de l'équation chimique générale.

• Modélisation des maladies cardiovasculaires
• Modélisation du cœur à plusieurs échelles

Un travail intéressant dans ce domaine est celui d'Alan Turing dans son article sur la morphogenèse intitulé The chemical Basis of Morphogenesis, publié en 1952.

• Le comportement en essaims.
• La théorie chimico-mécanique de la morphogenèse.
• La formation de patrons biologiques.

Ces exemples sont caractérisés par des mécanismes complexes et non-linéaires, et il est devenu clair que leur compréhension ne peut être entière qu'avec des modèles mathématiques. De par la grande diversité des thèmes, la recherche en biomathématiques est souvent faite en collaboration avec des mathématiciens, des physiciens, des biologistes, des médecins, des zoologistes, des chimistes, etc.

• Pierre Auger, Christophe Lett, Jean-Christophe Poggiale, Modélisation mathématique en écologie, Dunod (2010)
• Yves Cherruault, Biomathématiques, Presses universitaires de France (1983)
• Yves Cherruault, Mathematical Modelling in Biomedicine: Optimal Control of Biomedical Systems, Kluwer (1986) (ISBN 978-9027721495).
• Jean-Pierre Françoise, Oscillations en biologie : analyse qualitative et modèles, Springer (2005)
• Aziz-Alaoui & Cyrille bertelle (editors), Emergent Properties in Natural and Artificial Dynamical Systems, Springer New York (2006) (ISBN 978-3-540-34822-1).

• Bio-informatique
• Biophysique
• Biocybernétique (en)
• D'Arcy Wentworth Thompson