Cinétique du point matériel ou sans masse

La quantité de mouvement d'une particule est usuellement notée ${\displaystyle {\vec {p}}}$, sa définition dépend de la cinétique utilisable :

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$

où ${\displaystyle m>0}$ est la masse de la particule et ${\displaystyle {\vec {v}}}$ sa vitesse (avec ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert \ll c}$ correspondant pratiquement à ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert <{\tfrac {c}{10}}}$).

Pour une particule ayant une masse ${\displaystyle m>0}$ et une vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ (avec ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert <c\;\color {white}{.}}$)[5] :

${\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}\quad {\text{où}}\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\lVert {\vec {v}}\rVert ^{2}}{c^{2}}}}}}\,\color {white}{\text{.}}}$ est appelé facteur de Lorentz de la particule

(si la masse ${\displaystyle m\rightarrow 0}$, ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert \rightarrow c\Rightarrow \gamma \rightarrow \infty }$ rendant la formule inapplicable dans le cas limite des particules de masse nulle).

Pour des particules de masse nulle (essentiellement des photons) :

il n'y a pas de lien entre ${\displaystyle {\vec {p}}}$ et ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {c}}}$,

la première étant de norme variable[6] et la seconde de norme constante.

Dans le système international d'unités (ou ${\displaystyle S.I.}$), la norme de la quantité de mouvement s'exprime en ${\displaystyle kg\!\cdot \!m\!\cdot \!s^{-1}}$.

Le moment cinétique d'une particule (relativement à un point ${\displaystyle O}$ du référentiel) est noté ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}}$ (ou ${\displaystyle {\vec {L}}_{O}}$).

Ce dernier est défini comme le « moment de la quantité de mouvement calculé par rapport à ${\displaystyle O}$ »[7]

${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}={\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {p}}}$

où ${\displaystyle M}$ est la position de la particule à l'instant considéré.

Dans le système international d'unités (ou ${\displaystyle S.I.}$), la norme du moment cinétique d'une particule s'exprime en ${\displaystyle kg\!\cdot \!m^{2}\!\!\cdot \!s^{-1}}$.

L'énergie cinétique est la seule grandeur scalaire parmi les trois principales[8], elle est usuellement notée ${\displaystyle E_{c}}$ (ou ${\displaystyle E_{k}}$ ou encore ${\displaystyle K}$), sa définition dépend de la cinétique utilisable :

Pour une particule de masse ${\displaystyle m>0}$, de vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ (avec ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert <c}$) et de facteur de Lorentz « ${\displaystyle \gamma >1}$ »[9] :

« ${\displaystyle E_{c}={\sqrt {m^{2}c^{4}+{\vec {p}}\,^{2}c^{2}}}-mc^{2}=(\gamma -1)\,m\,c^{2}}$ »[10] ;

le plus souvent on remplace l'utilisation de l'énergie cinétique ${\displaystyle E_{c}}$ par l'énergie totale ${\displaystyle E}$ ; celle-ci est l'énergie cinétique décalée d'une constante égale à l'énergie de masse ${\displaystyle \color {white}{\text{.}}\,\color {black}{E_{0}=m\,c^{2}}\,\color {white}{\text{.}}}$ c.-à-d. :

${\displaystyle E=E_{0}+E_{c}=m\,c^{2}+\left(\gamma -1\right)m\,c^{2}}$ soit

${\displaystyle E=\gamma \,m\,c^{2}}$.

Pour des particules de masse nulle :

« ${\displaystyle E_{c}=\lVert {\vec {p}}\rVert \,c}$ »[11].

Dans le système international d'unités (ou ${\displaystyle S.I.}$), l'énergie cinétique[12] s'exprime en joules de symbole ${\displaystyle \mathrm {J=kg\!\cdot \!m^{2}\!\!\cdot \!s^{-2}} }$.

Formellement la grandeur cinétique ${\displaystyle {\vec {p}}}$ est le produit de la grandeur cinématique ${\displaystyle {\vec {v}}}$ et de la grandeur d'inertie ${\displaystyle m}$, elle représente une réserve vectorielle exprimant le mouvement mais aussi l'inertie de la particule.

Formellement le moment cinétique relativement à ${\displaystyle O}$ est le produit vectoriel de « ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}}$ »[15] et de la première grandeur cinétique, « la quantité de mouvement ${\displaystyle {\vec {p}}}$ », il représente vectoriellement une réserve exprimant le mouvement mais aussi l'inertie de la particule, le tout relativement au point ${\displaystyle O}$.

${\displaystyle O}$ et ${\displaystyle O'}$ étant deux points quelconques (fixes ou mobiles dans le référentiel ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$), les moments cinétiques de la particule relativement à chaque point ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {\sigma }}_{O}\;\color {white}{.}}$ et ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {\sigma }}_{O'}\;\color {white}{.}}$ sont liés entre eux par :${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}\qquad {\vec {\sigma }}_{O'}={\vec {\sigma }}_{O}+{\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {p}}}$.

Preuve : dans la définition de ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O'}={\overrightarrow {O'M}}\wedge {\vec {p}}}$, on utilise la relation de Chasles ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\overrightarrow {O'M}}={\overrightarrow {O'O}}+{\overrightarrow {OM}}\;\color {white}{.}}$ d'où ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {\sigma }}_{O'}=\left({\overrightarrow {O'O}}+{\overrightarrow {OM}}\right)\wedge {\vec {p}}\;\color {white}{.}}$ puis la distributivité du produit vectoriel par rapport à l'addition soit ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {\sigma }}_{O'}={\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {p}}+{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {p}}\;\color {white}{.}}$ dont on tire la relation cherchée, en reconnaissant dans le dernier terme le moment cinétique relativement à ${\displaystyle O}$, soit ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {\sigma }}_{O'}={\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {p}}+{\vec {\sigma }}_{O}={\vec {\sigma }}_{O}+{\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {p}}}$.

Si on choisit l'origine ${\displaystyle O}$ de calcul des moments sur la trajectoire de la particule, on a ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\overrightarrow {OM}}\parallel {\vec {p}}\;\color {white}{.}}$ et, par définition du produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires, ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {\sigma }}_{O}={\vec {0}}}$.

Dans le cas d'un mouvement de rotation de rayon ${\displaystyle r}$ autour du point ${\displaystyle O}$, de vecteur rotation ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$ (ou résultante du torseur cinématique) ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {\Omega }}=\omega \,{\vec {u}}_{\Delta }\;\color {white}{.}}$ où ${\displaystyle \omega }$ est la vitesse angulaire de rotation autour de l'axe ${\displaystyle \Delta }$ passant par ${\displaystyle O}$ et ${\displaystyle {\vec {u}}_{\Delta }}$ le vecteur unitaire de l'axe définissant le sens positif de rotation, le vecteur vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ de la particule positionnée en ${\displaystyle M}$ à l'instant considéré s'exprime selon :

« ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}}$ »[16].

Si on reporte l'expression du vecteur vitesse dans la définition du moment cinétique en ${\displaystyle O}$ on obtient ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}={\overrightarrow {OM}}\wedge m\left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)}$ ou encore ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}=m\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge \left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)\right]}$ et, en utilisant la formule du double produit vectoriel ${\displaystyle {\vec {A}}\wedge \left({\vec {B}}\wedge {\vec {C}}\right)=\left({\vec {A}}\cdot {\vec {C}}\right){\vec {B}}-\left({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}\right){\vec {C}}}$, cela donne ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}\wedge \left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)=\left({\overrightarrow {OM}}\cdot {\overrightarrow {OM}}\right){\vec {\Omega }}-{\cancel {\left({\overrightarrow {OM}}\cdot {\vec {\Omega }}\right){\overrightarrow {OM}}}}=r^{2}\,{\vec {\Omega }}}$ car ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}\perp {\vec {\Omega }}\quad {\text{et}}\quad \lVert {\overrightarrow {OM}}\rVert =r}$ ; finalement :

${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}=J_{\Delta }\;{\vec {\Omega }}\;\color {white}{.}}$ avec ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}J_{\Delta }=m\,r^{2}\;\color {white}{.}}$ appelé moment d'inertie de la particule relativement à l'axe de rotation ${\displaystyle \Delta }$.

Dans le système international d'unités (ou ${\displaystyle S.I.}$) le moment d'inertie s'exprime en ${\displaystyle kg\!\cdot \!m^{2}}$.

Le moment d'inertie est une deuxième grandeur d'inertie introduite (la première étant la masse) et, à l'aide de cette autre grandeur d'inertie, on retrouve, dans le cas de la rotation d'une particule, la relation formelle écrite dans le cas général à savoir :

la grandeur cinétique ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}}$ est le produit de la grandeur cinématique ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$ et de la grandeur d'inertie ${\displaystyle J_{\Delta }}$.

Le mouvement étant plan, on y choisit ${\displaystyle O}$ fixe ; on repère la particule par ses coordonnées polaires ${\displaystyle \left(r,\,\theta \right)}$ dans le plan ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ du mouvement, ce plan étant orienté par le vecteur unitaire ${\displaystyle {\vec {u}}_{z}}$ de l'axe ${\displaystyle z'z}$ passant par ${\displaystyle O}$ et ${\displaystyle \perp }$ au plan ${\displaystyle \left(x,y\right)}$, tel que la base cartésienne ${\displaystyle \left({\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right)}$, choisie orthonormée, soit directe [base encore notée ${\displaystyle \left({\hat {x}},\,{\hat {y}},\,{\hat {z}}\right)}$] ; la base polaire associée à la particule est notée ${\displaystyle \left({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta }\right)}$ ou ${\displaystyle \left({\hat {r}},\,{\hat {\theta }}\right)}$, c'est un cas particulier de la base cylindrique d'axe ${\displaystyle z'z}$ notée ${\displaystyle \left({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{z}\right)}$ ou ${\displaystyle \left({\hat {r}},\,{\hat {\theta }},\,{\hat {z}}\right)}$ également directe ;

la particule, positionnée en ${\displaystyle M}$ à l'instant considéré, a un vecteur position ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\overrightarrow {OM}}=r\,{\vec {u}}_{r}\;\color {white}{.}}$ et un vecteur vitesse ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {v}}={\dot {\overrightarrow {OM}}}={\dot {r}}\,{\vec {u}}_{r}+r\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\;\color {white}{.}}$ ou ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {v}}={\frac {d\!\left({\overrightarrow {OM}}\right)}{dt}}={\frac {dr}{dt}}\,{\vec {u}}_{r}+r\,{\frac {d\theta }{dt}}\,{\vec {u}}_{\theta }\;\color {white}{.}}$ ;

on en déduit ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}=r\,{\vec {u}}_{r}\wedge m\left({\dot {r}}\,{\vec {u}}_{r}+r\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\right)}$ soit, avec la distributivité du produit vectoriel par rapport à l'addition et avec ${\displaystyle {\vec {u}}_{r}\,\wedge \,{\vec {u}}_{r}={\vec {0}}}$ ainsi qu'avec ${\displaystyle {\vec {u}}_{r}\,\wedge \,{\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{z}}$, on obtient l'expression suivante :

« ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}=m\,r^{2}\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{z}}$ »[17].

L'énergie cinétique ${\displaystyle E_{c}}$ (encore notée ${\displaystyle E_{k}}$ ou ${\displaystyle K}$) peut être définie à partir de la première grandeur cinétique, « la quantité de mouvement ${\displaystyle {\vec {p}}}$ », et de la grandeur d'inertie associée, « la masse ${\displaystyle m}$ », selon ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}E_{c}={\frac {{\vec {p}}\,^{2}}{2m}}\;\color {white}{.}}$ c.-à-d. formellement la moitié du quotient du carré de la grandeur cinétique ${\displaystyle {\vec {p}}}$ sur la grandeur d'inertie associée ${\displaystyle m}$ ;

on élimine aisément la première grandeur cinétique, « la quantité de mouvement ${\displaystyle {\vec {p}}}$ », au profit des premières grandeurs cinématique et d'inertie, « la vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ et la masse ${\displaystyle m}$ », par utilisation de ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}{\vec {p}}=m{\vec {v}}\;\color {white}{.}}$, d'où ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}E_{c}={\frac {\left(m\,{\vec {v}}\right)^{2}}{2m}}\;\color {white}{.}}$ et on obtient la définition équivalente ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}E_{c}={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}\,^{2}\;\color {white}{.}}$ c.-à-d. formellement la moitié du produit du carré de la grandeur cinématique ${\displaystyle {\vec {v}}}$ par la grandeur d'inertie associée ${\displaystyle m}$ ;

on dispose aussi d'une troisième définition équivalente n'utilisant pas la masse, obtenue par ${\displaystyle E_{c}={\frac {{\vec {p}}\!\cdot \!{\vec {p}}}{2m}}={\frac {{\vec {p}}\!\cdot \!m{\vec {v}}}{2m}}}$ soit finalement ${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}\,{\vec {p}}\!\cdot \!{\vec {v}}}$, c.-à-d. formellement la moitié du produit scalaire de la grandeur cinétique ${\displaystyle {\vec {p}}}$ et de la grandeur cinématique associée ${\displaystyle {\vec {v}}}$.

Pour induire l'expression de l'énergie cinétique on peut utiliser la méthode formelle indiquée ci-dessus, sachant que, dans le cas d'une rotation, la grandeur cinématique intéressante est le vecteur rotation ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$, la grandeur cinétique associée, le moment cinétique relativement au centre ${\displaystyle O}$ de rotation ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}}$ et la grandeur d'inertie correspondante, le moment d'inertie relativement à l'axe ${\displaystyle \Delta }$ de rotation ${\displaystyle J_{\Delta }}$ d'où :

l'énergie cinétique ${\displaystyle E_{c}}$ est la moitié du quotient du carré de la grandeur cinétique ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}}$ sur la grandeur d'inertie associée ${\displaystyle J_{\Delta }}$, soit ${\displaystyle E_{c}={\frac {{\vec {\sigma }}_{O}^{\,2}}{2\,J_{\Delta }}}}$ ;

l'énergie cinétique ${\displaystyle E_{c}}$ est la moitié du produit du carré de la grandeur cinématique ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$ par la grandeur d'inertie associée ${\displaystyle J_{\Delta }}$, soit ${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}\,J_{\Delta }\,{\vec {\Omega }}^{2}}$ ;

l'énergie cinétique ${\displaystyle E_{c}}$ est la moitié du produit scalaire de la grandeur cinétique ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}}$ et de la grandeur cinématique associée ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$, soit ${\displaystyle E_{c}={\frac {{\vec {\sigma }}_{O}\!\cdot \!{\vec {\Omega }}}{2}}}$.

Pour démontrer ces expressions on peut partir de la définition ${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}\,{\vec {p}}\!\cdot \!{\vec {v}}}$ en y reportant l'expression de la vitesse dans le cas d'un mouvement circulaire ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}}$, on obtient ${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}\,{\vec {p}}\!\cdot \!\left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)\!\cdot \!{\vec {p}}}$ dans laquelle on reconnaît le produit mixte de trois vecteurs ${\displaystyle \left[{\vec {A}},\,{\vec {B}},\,{\vec {C}}\right]=\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)\!\cdot {\vec {C}}\;\color {white}{.}}$ ; on utilise alors l'invariance du produit mixte par permutation circulaire c.-à-d. ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\left[{\vec {A}},\,{\vec {B}},\,{\vec {C}}\right]=\left[{\vec {B}},\,{\vec {C}},\,{\vec {A}}\right]=}$ ${\displaystyle \left[{\vec {C}},\,{\vec {A}},\,{\vec {B}}\right]\color {white}{.}}$ d'où ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)\!\cdot \!{\vec {p}}=\left({\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {p}}\right)\!\cdot \!{\vec {\Omega }}\;\color {white}{.}}$ soit ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}E_{c}={\frac {1}{2}}\left({\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {p}}\right)\!\cdot \!{\vec {\Omega }}={\frac {1}{2}}{\vec {\sigma }}_{O}\!\cdot {\vec {\Omega }}\;\color {white}{.}}$ ; le remplacement de ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$ par ${\displaystyle {\frac {{\vec {\sigma }}_{O}}{J_{\Delta }}}}$ donne la première expression alors que le remplacement de ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}}$ par ${\displaystyle J_{\Delta }\,{\vec {\Omega }}}$ fournit la seconde.

Dans le cas d'une rotation on peut donc aussi utiliser les trois expressions suivantes de l'énergie cinétique :

${\displaystyle E_{c}={\frac {{\vec {\sigma }}_{O}^{\,2}}{2\,J_{\Delta }}}={\frac {1}{2}}J_{\Delta }\,{\vec {\Omega }}^{2}={\frac {{\vec {\sigma }}_{O}\!\cdot {\vec {\Omega }}}{2}}}$.

On choisit ${\displaystyle O}$ dans le plan du mouvement et on y repère la particule par ses coordonnées polaires ${\displaystyle \left(r,\,\theta \right)}$, le plan du mouvement étant orienté par le vecteur unitaire ${\displaystyle {\vec {u}}_{z}}$ de l'axe ${\displaystyle z'z}$ passant par ${\displaystyle O}$ et ${\displaystyle \perp }$ au plan ; la base polaire associée à la particule est notée ${\displaystyle \left({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta }\right)}$ ou ${\displaystyle \left({\hat {r}},\,{\hat {\theta }}\right)}$, c'est un cas particulier de la base cylindrique d'axe ${\displaystyle z'z}$ notée ${\displaystyle \left({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{z}\right)}$ ou ${\displaystyle \left({\hat {r}},\,{\hat {\theta }},\,{\hat {z}}\right)}$ base directe ;

la particule, positionnée en ${\displaystyle M}$ à l'instant considéré, ayant un vecteur vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\overrightarrow {OM}}}={\dot {r}}\,{\vec {u}}_{r}+r\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }}$ on en déduit l'expression de son énergie cinétique par ${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}\,^{2}}$ en utilisant ${\displaystyle {\vec {v}}^{\,2}=\lVert {\vec {v}}\rVert ^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}}$ :

« ${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}m\!\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)}$ »[18].

Pour une particule de masse ${\displaystyle m>0}$ et de vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ dans un référentiel spatio-temporel avec ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert <c}$, la quantité de mouvement définie précédemment, peut être réécrite en introduisant la vitesse relative de la particule dans le référentiel d'étude ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}{\vec {\beta }}={\frac {\vec {v}}{c}}\left(\Leftrightarrow {\vec {v}}={\vec {\beta }}\,c\right)\color {white}{.}}$ de norme ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}\lVert {\vec {\beta }}\rVert =\beta <1\color {white}{.}}$, permettant de simplifier l'écriture du facteur de Lorentz en ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\quad \Leftrightarrow \quad \gamma ^{2}=1+\gamma ^{2}\,\beta ^{2}\color {white}{.}}$, soit finalement :

${\displaystyle {\vec {p}}=\gamma \,mc\,{\vec {\beta }}\quad {\text{où}}\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$.

L'unité de norme de quantité de mouvement du ${\displaystyle S.I.}$ le ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}kg\!\cdot \!m\!\cdot \!s^{-1}\color {white}{.}}$ est mal adaptée pour des particules élémentaires compte tenu de la petitesse des valeurs de masse ; on utilise fréquemment une unité dérivée le ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}MeV/c\color {white}{.}}$ en introduisant la grandeur homogène à une énergie c.-à-d. ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}{\vec {p}}\,c=}$ ${\displaystyle \gamma \,mc^{2}\,{\vec {\beta }}=\gamma \,E_{0}\,{\vec {\beta }}\color {white}{.}}$ avec ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}E_{0}=m\,c^{2}\color {white}{.}}$ énergie de masse de la particule, usuellement exprimée en mégaélectron-volt de symbole ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}MeV\color {white}{.}}$ [${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}1\;MeV}$ ${\displaystyle \simeq 1,602\;10^{-13}\,J\color {white}{.}}$] ; ainsi une quantité de mouvement de norme égale à ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}1\;MeV/c\color {white}{.}}$ correspond à une grandeur ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}{\vec {p}}\,c\color {white}{.}}$ de norme égale à ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}1\;MeV\color {white}{.}}$.

Dans le domaine des faibles vitesses ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert \ll c\;\Leftrightarrow \;\beta =\lVert {\vec {\beta }}\rVert \ll 1}$ c.-à-d. que la norme de la vitesse relative peut être considérée comme un infiniment petit ; on peut alors faire un développement limité de la norme de ${\displaystyle {\vec {p}}\,c=\gamma \,E_{0}\,{\vec {\beta }}}$ à l'ordre le plus bas non nul en ${\displaystyle \beta }$ et, la grandeur étant proportionnelle à l'infiniment petit ${\displaystyle \beta }$, il suffit de faire le « développement limité de ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$ à l'ordre zéro »[20] soit ${\displaystyle \gamma \simeq 1}$ et par suite

${\displaystyle {\vec {p}}\,c\simeq E_{0}\,{\vec {\beta }}=m\,c^{2}\,{\vec {\beta }}=m\,c\,{\vec {v}}\;\Leftrightarrow \;{\vec {p}}\simeq m\,{\vec {v}}\color {white}{.}}$, on retrouve effectivement l'expression de la quantité de mouvement de la cinétique classique.

Avec cette approximation l'erreur commise sur la norme de la quantité de mouvement est ${\displaystyle \varepsilon _{p}=\lVert {\vec {p}}_{\text{relativ}}\rVert -\lVert {\vec {p}}_{\text{class}}\rVert =\gamma \,m\,c\,\beta -m\,c\,\beta }$, soit encore ${\displaystyle \varepsilon _{p}=\left(\gamma -1\right)m\,c\,\beta }$ et elle peut être estimée en poussant le « développement limité de ${\displaystyle \gamma }$ à l'ordre un en ${\displaystyle \beta ^{2}}$ »[21] ;

de façon à utiliser la première formule du formulaire des développements limités des fonctions usuelles au voisinage de zéro ${\displaystyle \left(1+x\right)^{a}=1+a\,x+o(x)}$ développement limité à l'ordre un en l'infiniment petit ${\displaystyle x}$ ou, écrit de façon plus succincte (et donc moins précise) ${\displaystyle \left(1+x\right)^{a}\simeq 1+a\,x}$, on réécrit le facteur de Lorentz selon ${\displaystyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$ et son développement limité à l'ordre un en ${\displaystyle \beta ^{2}}$ donne :

${\displaystyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\simeq 1+{\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}\;\color {white}{.}}$ d'où ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\gamma -1\simeq {\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}\;\color {white}{.}}$ soit ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\varepsilon _{p}=\left(\gamma \,-\,1\right)m\,c\,\beta \simeq {\frac {1}{2}}\,m\,c\,\beta ^{3}\;\color {white}{.}}$ ou encore, l'erreur relative suivante :

${\displaystyle {\frac {\lVert {\vec {p}}_{\text{relativ}}\rVert -\lVert {\vec {p}}_{\text{class}}\rVert }{\lVert {\vec {p}}_{\text{class}}\rVert }}={\frac {\varepsilon _{p}}{m\,c\,\beta }}={\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}}$ ; cette dernière est inférieure à ${\displaystyle 1\,\%=10^{-2}}$ si ${\displaystyle \beta ^{2}<2\,10^{-2}}$ soit ${\displaystyle \beta <{\sqrt {2}}\,10^{-1}\simeq 0,14}$ ; on vérifie ainsi que l'expression classique de la quantité de mouvement reste applicable à ${\displaystyle 1\,\%}$ près si ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\lVert {\vec {v}}\rVert <0,14\,c\simeq 42000\;km\!\cdot \!s^{-1}}$.

Pour obtenir l'expression relativiste du moment cinétique d'une particule relativement à ${\displaystyle O}$, il suffit de reporter l'expression relativiste de la quantité de mouvement dans la définition du moment cinétique ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}{\vec {\sigma }}_{O}={\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {p}}\color {white}{.}\;}$ soit « ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{O}={\overrightarrow {OM}}\wedge \gamma \,m\,{\vec {v}}={\overrightarrow {OM}}\wedge \gamma \,m\,c\,{\vec {\beta }}\color {white}{.}}$ »[22].

Pour une particule de masse ${\displaystyle m>0}$, de vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ (avec ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert <c}$) et de facteur de Lorentz « ${\displaystyle \gamma >1}$ »[9] l'énergie cinétique a été définie, en fonction du facteur de Lorentz ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\;\color {white}{.}}$ avec ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {\beta }}={\frac {\vec {v}}{c}}\;\color {white}{.}}$ vitesse relative de la particule, selon : ${\displaystyle \color {white}{.}\qquad \color {black}E_{c}=(\gamma \,-\,1)\,m\,c^{2}}$ ;

le plus souvent on remplace l'utilisation de l'énergie cinétique ${\displaystyle E_{c}}$ par celle de l'énergie totale ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}E=E_{c}+E_{0}\;\color {white}{.}}$ avec ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}E_{0}=m\,c^{2}\;\color {white}{.}}$ énergie de masse de la particule, d'où : ${\displaystyle \color {white}{.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \color {black}E=\gamma \,m\,c^{2}=\gamma \,E_{0}\color {white}{.}}$.

L'unité d'énergie du ${\displaystyle S.I.}$ le ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}J=kg\!\cdot \!m^{2}\!\cdot \!s^{-2}\color {white}{.}}$ est mal adaptée pour des particules élémentaires ; on utilise souvent le mégaélectron-volt de symbole ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}MeV\color {white}{.}}$
[${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}1\;MeV\simeq 1,602\;10^{-13}\,J\color {white}{.}}$][23].

Dans le domaine des faibles vitesses ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert \ll c\;\Leftrightarrow \;\beta =\lVert {\vec {\beta }}\rVert \ll 1}$, la norme de la vitesse relative peut être considérée comme un infiniment petit ; on peut alors faire un développement limité de ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}E_{c}=\left(\gamma \,-\,1\right)mc^{2}=\left(\gamma \,-\,1\right)E_{0}\;\color {white}{.}}$ à l'ordre le plus bas non nul et, comme le facteur de Lorentz ne fait intervenir que le carré de la norme de la vitesse relative ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\color {white}{.}}$, on prendra ${\displaystyle \beta ^{2}}$ comme infiniment petit, il suffit donc de « faire le développement limité de ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\color {white}{.}}$ à l'ordre un en ${\displaystyle \beta ^{2}}$ »[24] ;

l'erreur commise sur la norme de la quantité de mouvement en adoptant son expression classique étant ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\varepsilon _{p}=\lVert {\vec {p}}_{\text{relativ}}\rVert -\lVert {\vec {p}}_{\text{class}}\rVert =...}$ ${\displaystyle ...=\left(\gamma -1\right)m\,c\,\beta \;\color {white}{.}}$ et ayant aussi nécessité le développement limité de ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\color {white}{.}}$ à l'ordre un en ${\displaystyle \beta ^{2}}$, il suffit de reprendre ce dernier[25] ${\displaystyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\simeq 1+{\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}\;\color {white}{.}}$ d'où ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\gamma -1\simeq {\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}\;\color {white}{.}}$ dont on déduit ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}E_{c}=\left(\gamma \,-\,1\right)E_{0}\simeq {\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}\,E_{0}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\lVert {\vec {v}}\rVert }{c}}\right)^{\!\!\!2}mc^{2}\;\color {white}{.}}$ et par suite

${\displaystyle E_{c}\simeq {\frac {1}{2}}\,m\,\lVert {\vec {v}}\rVert ^{2}}$,
on retrouve effectivement l'expression de l'énergie cinétique de la cinétique classique.

Avec cette approximation l'erreur commise sur l'énergie cinétique est ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}\varepsilon _{E_{c}}=E_{c,\,{\text{relativ}}}-E_{c,\,{\text{class}}}=\left(\gamma \,-\,1\right)E_{0}-{\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}\,E_{0}\color {white}{.}}$, soit encore ${\displaystyle \varepsilon _{E_{c}}=\left(\gamma -1-{\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}\right)E_{0}\color {white}{.}}$ et elle peut être estimée en poussant le « développement limité de ${\displaystyle \gamma }$ à l'ordre deux en ${\displaystyle \beta ^{2}}$ »[26] ;

de façon à utiliser la première formule du formulaire des développements limités des fonctions usuelles au voisinage de zéro ${\displaystyle \left(1+x\right)^{a}=1+a\,x+{\frac {a\,(a-1)}{2}}\,x^{2}+o(x^{2})}$ développement limité à l'ordre deux en l'infiniment petit ${\displaystyle x}$ ou, écrit de façon plus succincte (et donc moins précise) ${\displaystyle \left(1+x\right)^{a}\simeq 1+a\,x+{\frac {a\,(a-1)}{2}}\,x^{2}}$, on réécrit le facteur de Lorentz selon ${\displaystyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$ et son développement limité à l'ordre deux en ${\displaystyle \beta ^{2}}$ donne :

${\displaystyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\simeq 1+{\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}-{\frac {1}{8}}\,\beta ^{4}\;\color {white}{.}}$ d'où ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\gamma -1-{\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}\simeq -{\frac {1}{8}}\,\beta ^{4}\;\color {white}{.}}$ soit ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\varepsilon _{E_{c}}=\left(\gamma \,-\,1-\,{\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}\right)E_{0}\simeq -{\frac {1}{8}}\,\beta ^{4}\,E_{0}\;\color {white}{.}}$
ou encore, l'erreur relative suivante : ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\frac {E_{c,\,{\text{relativ}}}-E_{c,\,{\text{class}}}}{E_{c,\,{\text{class}}}}}={\frac {\varepsilon _{E_{c}}}{{\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}\,E_{0}}}=-{\frac {1}{4}}\,\beta ^{2}\color {white}{.}}$ ;

la valeur absolue de cette dernière est inférieure à ${\displaystyle 1\,\%=10^{-2}}$ si ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\beta ^{2}<4\,10^{-2}\color {white}{.}}$ soit ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\beta <2\,10^{-1}\simeq 0,2\;\color {white}{.}}$ ; l'expression classique de l'énergie cinétique reste applicable à ${\displaystyle 1\,\%}$ près « si ${\displaystyle \lVert {\vec {v}}\rVert <0,2\,c\simeq 60000\;km\!\cdot \!s^{-1}}$ »[27].

La quantité de mouvement et l'énergie cinétique (ou totale) d'une particule ont été définies à partir de sa vitesse ; éliminons la vitesse de façon à trouver un lien entre quantité de mouvement et énergie cinétique (ou totale) ; de ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\vec {p}}\,c=\gamma \,mc^{2}\,{\vec {\beta }}=\gamma \,E_{0}\,{\vec {\beta }}\;\color {white}{.}}$ et de ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}E=\gamma \,m\,c^{2}=\gamma \,E_{0}\;\color {white}{.}}$, on déduit aisément l'expression de la vitesse relative ${\displaystyle {\vec {\beta }}}$ en fonction des grandeurs cinétiques ${\displaystyle {\vec {p}}\,c}$ et ${\displaystyle E}$ :

${\displaystyle {\vec {\beta }}={\frac {{\vec {p}}\,c}{E}}\;\color {white}{.}}$ ;

reportant cette expression de vitesse relative dans le facteur de Lorentz ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\;\color {white}{.}}$, on obtient ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}{E^{2}}}}}}\;\color {white}{.}}$ ou, ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}\gamma \;\color {white}{.}}$ étant d'autre part égal à ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\frac {E}{E_{0}}}\;\color {white}{.}}$, ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\frac {E}{E_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}{E^{2}}}}}}\Leftrightarrow E\,{\sqrt {1-{\frac {{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}{E^{2}}}}}=E_{0}\;\color {white}{.}}$ soit ${\displaystyle \color {white}{.}\;\color {black}{\sqrt {E^{2}-{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}}=E_{0}\;\color {white}{.}}$ ou, en élevant au carré, on en déduit ${\displaystyle E^{2}=E_{0}^{\,2}+{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}\;\color {white}{.}}$ soit finalement, l'énergie totale étant positive : ${\displaystyle \color {white}{.}\qquad \qquad \color {black}E={\sqrt {E_{0}^{\,2}+{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}}={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}}\;\color {white}{.}}$.

L'énergie cinétique s'obtient alors en retranchant l'énergie de masse soit ${\displaystyle \color {white}{.}\qquad \color {black}E_{c}={\sqrt {E_{0}^{\,2}+{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}}-E_{0}={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}}-m\,c^{2}\;\color {white}{.}}$.

Ces particules sans masse n'ayant évidemment pas d'énergie de masse, la seule énergie qu'on peut leur associer est une énergie liée à leur mouvement c.-à-d. l'énergie cinétique ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}E_{c}\color {white}{.}}$ et, comme l'énergie de masse ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}E_{0}=0\color {white}{.}}$, c'est aussi l'énergie totale ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}E\color {white}{.}}$ soit ${\displaystyle \color {white}{.}\color {black}E=E_{c}\color {white}{.}}$ ;