Algorithme de recherche de valeur propre

La matrice adjointe M^* d'une matrice complexe M est la transposée de la conjuguée M : M ^* = M ^T. Une matrice carrée A est appelée normale si elle commute avec son adjointe : A^*A = AA^*. Elle est appelée hermitienne si elle est égale à son adjointe : A^* = A. Toutes les matrices hermitiennes sont normales. Si A est réelle, l'adjointe est sa transposée, et A est hermitienne si et seulement si elle est symétrique. Une fois appliquée aux vecteurs colonnes, l'adjointe peut être utilisée pour définir le produit scalaire canonique sur ℂⁿ: w · v = w^* v[note 2]. Les matrices normales, hermitiennes et symétriques de réelles ont plusieurs propriétés utiles :

• tout vecteur propre généralisé d'une matrice normale est un vecteur propre ordinaire ;
• toute matrice normale est similaire à une matrice diagonale, car sa forme normale de Jordan est diagonale ;
• deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes d'une même matrice normale sont orthogonaux ;
• le noyau et l'image d'une matrice normale sont orthogonaux ;
• pour toute matrice normale A, ℂⁿ a une base orthonormale de vecteurs propres de A. La matrice correspondante de vecteurs propres est unitaire ;
• les valeurs propres d'une matrice hermitienne sont réelles, car (λ − λ)v = (A^* − A)v = (A − A)v = 0 pour un vecteur propre non nul v ;
• si A est réelle, il y a une base orthonormale de Rⁿ constituée de vecteurs propres de A si et seulement si A est symétrique.

Il est possible qu'une matrice réelle ou complexe n'ait que des valeurs propres réelles sans être hermitienne. Par exemple, une matrice réelle triangulaire a ses valeurs propres sur sa diagonale, mais elle n'est pas symétrique dans le cas général.

Puisque le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux, si T est triangulaire, alors ${\displaystyle \textstyle \det(\lambda I-T)=\prod _{i}(\lambda -T_{ii})}$. Ainsi, les valeurs propres de T sont ses coefficients diagonaux.

Si p est un polynôme tel que p(A) = 0, alors les valeurs propres de A vérifient la même équation. Si p peut être simplement factorisé, alors les valeurs propres de A sont parmi les racines.

Par exemple, une projection est une matrice carrée P satisfaisant P² = P. Les racines de l'équation polynomiale scalaire correspondante, λ² = λ, sont donc 0 et 1. Ainsi, toutes les projections ont 0 et 1 comme valeurs propres. La multiplicité de 0 comme valeur propre est la dimension du noyau de P, et la multiplicité de 1 est le rang de P.

Un autre exemple est une matrice A vérifiant A² = α²I pour un scalaire α. Les valeurs propres valent donc ±α. Les opérateurs de projection

${\displaystyle P_{+}={\frac {1}{2}}\left(I+{\frac {A}{\alpha }}\right),\,P_{-}={\frac {1}{2}}\left(I-{\frac {A}{\alpha }}\right)}$

vérifient

${\displaystyle AP_{+}=\alpha P_{+}\quad AP_{-}=-\alpha P_{-}}$

et

${\displaystyle P_{+}P_{+}=P_{+}\quad P_{-}P_{-}=P_{-}\quad P_{+}P_{-}=P_{-}P_{+}=0.}$

Les espaces colonne de P₊ et P₋ sont les espaces propres de A correspondant à +α et –α, respectivement.

Pour les dimensions 2 à 4, les valeurs propres peuvent être exprimées par des radicaux (d'après le théorème de Gauss-Wantzel). Si les formules sont connues pour les matrices 2×2 et 3×3, la complexité de l'écriture des racines d'une équation quartique pour les matrices 4×4 peut décourager et amener à les trouver par d'autres moyens.

Pour une matrice 2×2

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

le polynôme caractéristique est

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}\lambda -a&-b\\-c&\lambda -d\end{matrix}}\right|=\lambda ^{2}\,-\,(a+d)\lambda \,+\,(ad-bc)=\lambda ^{2}\,-\,\lambda \,{\rm {Tr}}(A)\,+\,{\rm {det}}(A).}$

Ainsi, les valeurs propres peuvent être obtenues par les égalités usuelles :

${\displaystyle \lambda ={\frac {{\rm {Tr}}(A)\pm {\sqrt {{\rm {Tr}}(A)^{2}-4\,{\rm {det}}(A)}}}{2}}.}$

On pose δ(A) = √Tr (A)² – 4 det(A) la distance entre les deux valeurs, ce qui permet d'obtenir

${\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial a}}={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {a-d}{\delta (A)}}\right),\qquad {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}={\frac {\pm c}{\delta (A)}}}$

avec des formules similaires pour c et d. De là, on en déduit que le calcul est bien conditionné si les valeurs propres sont isolées.

Les vecteurs propres peuvent être trouvés en utilisant le théorème de Cayley-Hamilton. Si λ₁, λ₂ sont les valeurs propres, alors (A – λ₁I )(A – λ₂I ) = (A – λ₂I )(A – λ₁I ) = 0, donc les colonnes de (A – λ₂I ) sont annulées par (A – λ₁I ) et réciproquement. En supposant que les deux matrices sont non nulles, les colonnes de chacune doivent contenir des vecteurs propres de l'autre valeur propre. (Si l'une des matrices est nulle, alors A est un multiple de l'identité et tout vecteur non nul est vecteur propre.)

Exemple

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}4&3\\-2&-3\end{pmatrix}},}$

vérifie Tr(A) = 4 – 3 = 1 et det(A) = 4(–3) – 3(–2) = –6, donc l'équation caractéristique vaut

${\displaystyle 0=\lambda ^{2}-\lambda -6=(\lambda -3)(\lambda +2),}$

et les valeurs propres sont 3 et –2. De là,

${\displaystyle A-3I={\begin{pmatrix}1&3\\-2&-6\end{pmatrix}},\qquad A+2I={\begin{pmatrix}6&3\\-2&-1\end{pmatrix}}.}$

Dans les deux matrices, les colonnes sont multiples l'une de l'autre, donc une peut être utilisée. Ainsi, (1, –2) peut être utilisé comme vecteur propre associée à –2, et (3, –1) comme vecteur propre associé à la valeur propre 3, ce qui se vérifie simplement.

Si A est une matrice 3×3, alors son polynôme caractéristique peut s'écrire sous la forme :

${\displaystyle {\rm {det}}\left(\alpha I-A\right)=\alpha ^{3}-\alpha ^{2}{\rm {Tr}}(A)-\alpha {\frac {1}{2}}\left({\rm {Tr}}(A^{2})-{\rm {Tr}}(A)^{2}\right)-{\rm {det}}(A)=0.}$

On peut obtenir les racines par la méthode de Cardan ou de Lagrange, mais un changement affine de A peut grandement simplifier l'expression et permettre d'écrire les solutions sous forme trigonométrique. Si A = pB + qI, alors A et B ont les mêmes vecteurs propres, et β est valeur propre de B si et seulement si α = pβ + q est valeur propre de A. On pose q = Tr(A)/3 et p = (Tr((A – qI)²)/6)^1/2, ce qui donne

${\displaystyle {\rm {det}}(\beta I-B)=\beta ^{3}-3\beta -{\rm {det}}(B)=0.}$

La substitution β = 2cos θ et des calculs de simplification par le développement cos (3θ) = 4cos³ θ – 3cos θ mènent à l'égalité cos (3θ) = det(B)/2. Ainsi, les racines s'écrivent sous la forme :

${\displaystyle \beta =2\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {{\rm {det}}(B)}{2}}\right)+{\frac {2k\pi }{3}}\right),\quad k=0,1,2.}$

Si det(B) est complexe ou supérieur à 2 en valeur absolue, l'arc cosinus doit être pris sur la même branche pour les trois valeurs de k. Ceci n'apparaît pas si A est réelle et symétrique, et les calculs des valeurs propres sont grandement simplifiés[9].

On peut également obtenir les vecteurs propres de A par le théorème de Cayley-Hamilton. Si α₁, α₂, α₃ sont trois valeurs propres distinctes pour A, alors (A – α₁I)(A – α₂I)(A – α₃I) = 0. Donc les colonnes du produit de deux de ces matrices consisteront des vecteurs propres de la troisième. Si α₃ = α₁, alors (A – α₁I)²(A – α₂I) = (A – α₂I)(A – α₁I)² = 0. Ainsi l'espace propre généralisé associé à α₁ est généré par les colonnes de A – α₂I tandis que l'espace propre ordinaire est généré par les colonnes de (A – α₁I)(A – α₂I). L'espace propre ordinaire de α₂ est généré par les colonnes de (A – α₁I)².

Exemple

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&2&6\\2&2&5\\-2&-1&-4\end{pmatrix}}.}$

L'équation caractéristique vaut

${\displaystyle 0=\lambda ^{3}-\lambda ^{2}-\lambda +1=(\lambda -1)^{2}(\lambda +1),}$

avec pour valeurs propres 1 (de multiplicité 2) et -1. Ainsi,

${\displaystyle A-I={\begin{pmatrix}2&2&6\\2&1&5\\-2&-1&-5\end{pmatrix}},\qquad A+I={\begin{pmatrix}4&2&6\\2&3&5\\-2&-1&-3\end{pmatrix}}}$

et

${\displaystyle (A-I)^{2}={\begin{pmatrix}-4&0&-8\\-4&0&-8\\4&0&8\end{pmatrix}},\qquad (A-I)(A+I)={\begin{pmatrix}0&4&4\\0&2&2\\0&-2&-2\end{pmatrix}}}$

Donc (–4, –4, 4) est un vecteur propre pour –1, et (4, 2, –2) est un vecteur propre pour 1. (2, 3, –1) et (6, 5, –3) sont deux vecteurs propres généralisés associés à 1, chacun pouvant être combiné à (–4, –4, 4) et (4, 2, –2) pour former une base de vecteurs propres généralisés pour A. Ces vecteurs peuvent être normalisés si nécessaire.

Si A est une matrice 3×3 normale, alors le produit vectoriel peut être utilisé pour trouver les vecteurs propres, car pour ce cas, les noyaux et les espaces colonne sont orthogonaux (ce n'est pas toujours vérifié).

Si λ est une valeur propre de A, alors le noyau de A – λI est perpendiculaire à son espace colonne, le produit vectoriel de deux colonnes linéairement indépendantes de A – λI sera dans le noyau, donc un vecteur propre associé avec λ. Comme l'espace colonne est de dimension 2 dans ce cas, l'espace propre doit être de dimension 1, donc tout vecteur propre sera parallèle à celui-ci.

Si A – λI ne contient pas deux colonnes indépendantes mais est différente de 0, le produit vectoriel peut toujours être utilisé. Dans ce cas, λ est une valeur propre de multiplicité 2, donc tout vecteur orthogonal à l'espace colonne sera un vecteur propre. Supposons que v est une colonne non nulle de A – λI. On choisit un vecteur arbitraire u non colinéaire à v. Alors v × u et (v × u) × v sera orthogonal à v et sont donc vecteurs propres associés à λ.