Sous-espace de Krylov

Le concept porte le nom du mathématicien appliqué et ingénieur naval russe Alexei Krylov, qui a publié un article à ce sujet en 1931[2].

• ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b),A{\mathcal {K}}_{r}(A,b)\subset {\mathcal {K}}_{r+1}(A,b)}$ .
• Les vecteurs ${\displaystyle \{b,Ab,A^{2}b,\ldots ,A^{r-1}b\}}$ sont linéairement indépendants tant que ${\displaystyle r<r_{0}}$, et ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)\subset {\mathcal {K}}_{r_{0}}(A,b)}$ . Ainsi, ${\displaystyle r_{0}}$ désigne la dimension maximale d'un sous-espace de Krylov.
• La dimension maximale satisfait ${\displaystyle r_{0}\leq 1+\operatorname {rank} A}$ et ${\displaystyle r_{0}\leq n+1}$ .
• Plus exactement, ${\displaystyle r_{0}\leq \deg[p(A)]}$, où ${\displaystyle p(A)}$ est le polynôme minimal de ${\displaystyle A}$ . De plus, il existe une ${\displaystyle b}$ tel que ${\displaystyle r_{0}=\deg[p(A)]}$ .
• ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)}$ est un sous-module cyclique généré par ${\displaystyle b}$ de la torsion ${\displaystyle k[x]}$ -module ${\displaystyle (k^{n})^{A}}$, où ${\displaystyle k^{n}}$ est l'espace linéaire sur ${\displaystyle k}$ .
• ${\displaystyle k^{n}}$ peut être décomposé comme la somme directe des sous-espaces de Krylov.

Les sous-espaces de Krylov sont utilisés dans de nombreux algorithmes numériques en algèbre linéaire pour trouver des solutions approchées à des problèmes de vecteurs propres avec des matrices de grande dimension.

Les méthodes itératives modernes, telles que l'algorithme d'Arnoldi, peuvent être utilisées pour trouver une (ou plusieurs) valeurs propres de grandes matrices creuses ou pour résoudre de grands systèmes d'équations linéaires. Ils essaient d'éviter les opérations matrice-matrice, mais utilisent plutôt les produits matrice-vecteur et travaillent avec les vecteurs résultants. Étant donné le vecteur ${\displaystyle b}$, on calcule ${\displaystyle Ab}$, puis on multiplie ce vecteur par ${\displaystyle A}$ pour trouver ${\displaystyle A^{2}b}$ etc. Tous les algorithmes qui fonctionnent de cette manière sont appelés méthodes de sous-espace de Krylov ; ce sont actuellement les méthodes les plus efficaces disponibles en algèbre linéaire numérique.

Étant donné que les vecteurs deviennent généralement rapidement presque linéairement dépendants en raison des propriétés de la méthode de la puissance itérée, les méthodes reposant sur le sous-espace de Krylov impliquent fréquemment un schéma d'orthonormalisation, comme l'algorithme de Lanczos pour les matrices hermitiennes ou l'algorithme d'Arnoldi pour les matrices plus générales.

Les méthodes de sous-espace de Krylov les plus connues sont Arnoldi, Lanczos, Conjugate gradient, IDR(s) (Induced dimension reduction), GMRES (généralisation de la méthode de minimisation du résidu), BiCGSTAB (méthode du gradient biconjugué stabilisé), QMR (quasi minimal résiduel), TFQMR ( QMR sans transposition) et les méthodes de résidus minimaux.