Théorème du minimax de von Neumann

Représentation graphique de la matrice ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&4&5\\1&3&2\\4&6&2,5\end{pmatrix}}}$.
Le point-selle est en vert.

Soit l'exemple d'un jeu à trois stratégies pour chaque joueur où la matrice A des gains de Xavier est la suivante :

Considérant la règle du jeu, Xavier se dit : « Si je joue 1, je risque de perdre 1000 unités, et si je joue 3 d'en perdre 3000 ; mais si je joue 2, je gagne une unité dans le pire des cas. »

Yvette, pour sa part, se dit : « Si je joue 1, je risque de perdre 2000 unités, et si je joue 2 d'en perdre 1010 ; mais si je joue 3 mes pertes sont limitées à une unité dans le pire des cas.

Xavier peut poursuivre son raisonnement : « J'ai reconstitué le raisonnement d'Yvette, qui lui donne de bonnes raisons de choisir sa stratégie 3. Si elle le fait comme je m'y attends, la lecture de la 3^e ligne de la matrice me montre que la stratégie 2 est le meilleur choix pour moi. Excellente raison de m'y tenir. »

Et symétriquement, après avoir observé la 2^e colonne de la matrice, Yvette se sent confortée dans son choix pour la stratégie 3.

Finalement tout ceci mène à penser que le choix conjoint du 2^e coup pour Xavier, du 3^e pour Yvette est plus rationnel que les autres, qu'il est le bon choix en un sens qui reste à préciser. Il est à cet égard instructif de considérer deux règles de décision inappropriées qui pourraient tenter Xavier : en premier lieu, il pourrait chercher à maximiser la moyenne d'une colonne, en l'interprétant comme le gain moyen que lui rapporterait le choix de la stratégie correspondante, et il jouerait alors son 1^er coup ; en second lieu, il pourrait être attiré par le « maximax », le gain le plus élevé figurant sur le tableau (ici c'est 2000), ce qui le conduirait à jouer son 3^e coup. Dans les deux cas, il y perdrait, puisqu'Yvette — si elle joue bien — s'en tiendrait tout de même à jouer son coup numéro 3 et le seul résultat de la gourmandise de Xavier serait qu'il ne toucherait rien au lieu de gagner le modeste 1 que la meilleure stratégie lui garantit.

Comparons à la situation suivante, variante minime du jeu de « pierre-feuille-ciseaux » (on a modifié de quelques centimes les enjeux pour éviter des situations d'indifférence entre stratégies qui n'apportent rien à la compréhension) :

Xavier et Yvette peuvent commencer à raisonner comme dans l'exemple précédent : si Xavier veut minimiser la somme qu'il devra verser à Yvette, le coup à jouer est « feuille » où il ne perdra au pire que 1,01 unité. De même Yvette va dans un premier temps être tentée par jouer « ciseaux » où dans le pire des cas sa perte se limite à 1,02 unité. Mais lorsqu'il considère qu'Yvette a des raisons sérieuses de jouer « ciseaux » Xavier, au lieu d'être conforté dans son choix initial de « feuille », s'aperçoit qu'il serait alors perdant et qu'il vaut bien mieux bifurquer sur « pierre ». Yvette, qui reconstitue mentalement les anticipations de Xavier, anticipe qu'il jouera « pierre » et déplace son projet de coup vers « feuille ». À son tour Xavier modifie ses anticipations... Rien ne se stabilise et aucun choix de stratégies pures n'arrive à s'imposer.

Où se situe la différence entre les deux exemples ? C'est que dans la première matrice, contrairement à la deuxième, figure ce qu'on peut appeler un point-selle, ou équilibre de Nash : une entrée qui est à la fois la plus petite de sa colonne et la plus grande de sa ligne.

Proposition[2] : Les points-selles étant définis comme ci-dessus, une matrice ${\displaystyle (n,k)}$ de réels ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ possède un point-selle si et seulement si

${\displaystyle \max _{1\leq j\leq k}(\min _{1\leq i\leq n}a_{ij})=\min _{1\leq i\leq n}(\max _{1\leq j\leq k}a_{ij}).}$

En tout point-selle de la matrice, l'entrée correspondante du tableau est égale à ce minimax.

Voyons comment s'applique cette proposition sur les exemples :

pour le premier exemple, ${\displaystyle \max _{1\leq j\leq k}(\min _{1\leq i\leq n}a_{ij})=\max\{-1000,1,-3000\}=1}$ tandis que ${\displaystyle \min _{1\leq i\leq n}(\max _{1\leq j\leq k}a_{ij})=\min\{2000,1010,1\}=1.}$ Le minimax et le maximin sont égaux, et la case à l'intersection de la ligne où le minimax est atteint et de la colonne où le maximin est atteint est un point-selle.

Dans le second cas, ${\displaystyle \max _{1\leq j\leq k}(\min _{1\leq i\leq n}a_{ij})=-1,01}$ tandis que ${\displaystyle \min _{1\leq i\leq n}(\max _{1\leq j\leq k}a_{ij})=1,02}$ (on reconnaît les valeurs initialement considérées dans leurs réflexions respectives par Xavier et Yvette). Comme ils ne coïncident pas, il ne peut y avoir de point-selle.

L'expression ${\displaystyle \max _{1\leq j\leq k}(\min _{1\leq i\leq n}a_{ij})}$ peut s'interpréter.

Pour un ${\displaystyle j}$ donné, l'expression ${\displaystyle \min _{1\leq i\leq n}a_{ij}}$ représente la plus petite entrée de la ${\displaystyle j}$-ème colonne. Dans la version du modèle où on ne connaît que les stratégies pures, on l'interprète comme suit : c'est pour un Xavier considérant la possibilité de jouer ${\displaystyle j}$ l'hypothèse de résultat la moins favorable.

Quand ensuite Xavier considère le max de ces min (le « maximin ») il détermine, parmi les k coups qui lui sont proposés, celui qui a pour lui les résultats les moins fâcheux dans l'optique pessimiste où Yvette, infiniment chanceuse ou psychologue, déjoue forcément le choix stratégique de Xavier. Choisir le maximin pour lui, c'est donc choisir la solution la moins risquée en mesurant le risque de chacune par la seule considération de l'hypothèse la plus défavorable.

Dans son exposé de la théorie des jeux pour un large public, William Poundstone (en) synthétise élégamment cette explication en citant Italo Calvino : « Tu sais que ce que tu peux espérer de mieux est d'éviter le pire »[3].

On peut aller plus loin à condition d'imaginer une extension de la notion de stratégie. Jusqu'à présent, chaque joueur n'avait le choix qu'entre des « stratégies pures » : il pouvait décider quel coup jouer. On lui offre désormais une nouvelle possibilité : choisir judicieusement une mesure de probabilité sur l'ensemble fini des stratégies pures, puis jouer aléatoirement en pondérant son tirage par la mesure préalablement choisie. On appellera ainsi stratégie mixte une probabilité sur l'ensemble fini des stratégies pures accessibles à un joueur.

Une mesure de probabilité ${\displaystyle P}$ sur l'ensemble fini ${\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}$ est caractérisée par la donnée de la probabilité ${\displaystyle p_{i}=P(\{i\})}$ pour chaque ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,m\}}$. En identifiant une mesure de probabilité ${\displaystyle P}$ sur ${\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}$ au vecteur-colonne ${\displaystyle (p_{1}\,\ldots \,p_{m})^{T}}$, on représente ainsi l'ensemble des stratégies mixtes accessibles à un joueur disposant de ${\displaystyle m}$ stratégies pures par le simplexe ${\displaystyle \Delta _{m}}$, ensemble des ${\displaystyle m}$-uplets de réels positifs ou nuls et de somme égale à 1.

Dans l'exemple du jeu pierre-feuille-ciseaux, choisir la stratégie mixte ${\displaystyle (1/3\,\,\,\,1/3\,\,\,\,1/3)^{T}}$ c'est décider de tirer au sort quel coup on jouera avec équiprobabilité ; choisir la stratégie mixte ${\displaystyle (1/7\,\,\,\,2/7\,\,\,\,4/7)^{T}}$, c'est choisir d'annoncer « pierre » avec probabilité 1/7, « feuille » avec probabilité 2/7 et « ciseaux » sinon ; choisir la stratégie mixte ${\displaystyle (0\,\,\,\,0\,\,\,\,1)^{T}}$ c'est décider de ne pas tirer au sort et de jouer « ciseaux » dans tous les cas (au passage, on remarque ici que les stratégies pures peuvent être interprétées comme des cas particuliers de stratégies mixtes).

Pour chaque choix d'une stratégie mixte ${\displaystyle X=(p_{1}\,\ldots \,p_{k})^{T}}$ par Xavier et d'une stratégie mixte ${\displaystyle Y=(q_{1}\,\ldots \,q_{n})^{T}}$ par Yvette, la probabilité que Xavier joue le coup « ${\displaystyle j}$ » et Yvette le coup « ${\displaystyle i}$ » est alors égale au produit ${\displaystyle q_{i}p_{j}}$ : en effet comme on a supposé le jeu non coopératif, les deux joueurs ne se concertent pas et il est raisonnable de modéliser leurs tirages au sort respectifs par des variables aléatoires indépendantes.

L'espérance de gain pour Xavier sous l'hypothèse de choix de ces deux stratégies mixtes se calcule alors comme une espérance mathématique : c'est

${\displaystyle \sum _{1\leq i\leq n \atop 1\leq j\leq k}a_{ij}q_{i}p_{j}.}$

Il s'agit de l'unique terme de la matrice ${\displaystyle Y^{T}AX}$, qui est de taille ${\displaystyle (1,1)}$ ; et cette dernière s'interprète donc comme le gain que peut attendre Xavier, en moyenne, lorsque les stratégies mixtes choisies sont ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$.

Il est alors possible de définir la notion d'équilibre de Nash pour cette fonction de gain comme on a défini les points-selles plus haut : on dira qu'un couple de stratégies mixtes ${\displaystyle (X_{0},Y_{0})\in \Delta _{k}\times \Delta _{n}}$ est un équilibre de Nash pour ${\displaystyle A}$ lorsque :

• d'une part, pour tout ${\displaystyle Y\in \Delta _{n}}$, ${\displaystyle Y_{0}^{T}AX_{0}\leq Y^{T}AX_{0}}$ (si Yvette change de stratégie tandis que Xavier conserve la stratégie ${\displaystyle X_{0}}$, elle ne peut qu'y perdre)

• d'autre part, pour tout ${\displaystyle X\in \Delta _{k}}$, ${\displaystyle Y_{0}^{T}AX\leq Y_{0}^{T}AX_{0}}$ (si Xavier change de stratégie tandis qu'Yvette maintient ${\displaystyle Y_{0}}$, il ne peut que s'en repentir).

Comme avec le modèle qui ne connaît que les stratégies pures, lorsqu'il existe un équilibre de Nash on peut exposer des arguments heuristiques justifiant que celui-ci constitue un choix raisonnable pour les deux joueurs ; comme plus haut, son existence est caractérisée par une propriété de minimax et on montre la

Proposition[4] : Soit ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ une matrice ${\displaystyle (n,k)}$ de réels. Il y a un équilibre de Nash pour ${\displaystyle A}$ (au sens défini ci-dessus) si et seulement si

${\displaystyle \max _{X\in \Delta _{k}}\min _{Y\in \Delta _{n}}Y^{T}AX=\min _{Y\in \Delta _{n}}\max _{X\in \Delta _{k}}Y^{T}AX.}$

En tout équilibre de Nash ${\displaystyle (X_{0},Y_{0})}$ pour ${\displaystyle A}$, la valeur de ${\displaystyle Y_{0}^{T}AX_{0}}$ est alors égale à ce minimax.

Le maximin qui apparaît dans ce calcul matriciel s'interprète comme celui de la situation à point-selle, la nouveauté étant que les ensembles de choix sont désormais infinis. Pour chaque stratégie mixte envisageable, Xavier soupèse quelle conséquence elle aurait pour lui dans une hypothèse pessimiste (c'est ${\displaystyle \min _{Y\in \Delta _{n}}Y^{T}AX}$ qui s'il est négatif peut signifier pour lui une douloureuse perte sèche). Dans un second temps il choisit parmi l'infinité de stratégies mixtes à sa disposition celle dont les conséquences, si tout va mal, sont les moins douloureuses.

Ce qu'affirme alors le théorème du minimax de von Neumann, c'est l'existence d'un tel équilibre de Nash pour toute matrice ${\displaystyle A}$. Ce résultat reste d'ailleurs vrai sans l'hypothèse de « somme nulle », comme l'a montré John Forbes Nash en 1949, mais n'est alors plus lié à une propriété de minimax.

Voyons sur les deux exemples étudiés plus haut quelles répartitions de probabilité constituent l'équilibre de von Neumann.

Dans le jeu avec point-selle, on peut s'attendre à ce que ce soient sur des stratégies pures, et c'est en effet le cas : notons ${\displaystyle X_{0}=(0\,1\,0)^{T}}$ et ${\displaystyle Y_{0}=(0\,0\,1)^{T}}$ les stratégies pures constituant le point-selle, désormais considérées comme des stratégies mixtes dégénérées. Pour ce choix, ${\displaystyle Y_{0}^{T}AX_{0}=1}$.

Considérons un autre ${\displaystyle Y=(q_{1}\,\,\,q_{2}\,\,\,q_{3})^{T}}$ dans ${\displaystyle \Delta _{3}}$. Calculons :

${\displaystyle Y^{T}AX_{0}=Y^{T}(AX_{0})={\begin{pmatrix}q_{1}&q_{2}&q_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&2&1\end{pmatrix}}^{T}=2q_{1}+2q_{2}+q_{3}.}$

Comme par hypothèse ${\displaystyle 0\leq q_{1}}$ et ${\displaystyle 0\leq q_{2}}$, on peut écrire que ${\displaystyle q_{1}+q_{2}+q_{3}\leq 2q_{1}+2q_{2}+q_{3}}$. En regroupant toutes ces informations (et en se souvenant que ${\displaystyle q_{1}+q_{2}+q_{3}=1}$), on en déduit :

${\displaystyle Y_{0}^{T}AX_{0}=1=q_{1}+q_{2}+q_{3}\leq 2q_{1}+2q_{2}+q_{3}=Y^{T}AX_{0}.}$

La première condition définissant les équilibres de Nash est bien vérifiée. La vérification de la seconde n'est pas plus difficile. L'équilibre de Nash est identifié, et reste composé de stratégies pures même dans l'extension du modèle à des stratégies probabilistes.

Examinons maintenant l'exemple du jeu pierre-feuille-ciseaux, cette fois-ci sous sa forme la plus simple avec la matrice de gain

qui est dépourvue de point-selle.

On essaie ici conformément à l'intuition ${\displaystyle X_{0}=Y_{0}=(1/3\,\,\,\,1/3\,\,\,\,1/3)^{T}}$. On calcule d'abord ${\displaystyle Y_{0}^{T}AX_{0}=0}$, où on remarque que tout simplement ${\displaystyle Y_{0}^{T}A=0}$ et ${\displaystyle AX_{0}=0}$. Dès lors pour toute stratégie mixte ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Y_{0}^{T}AX_{0}=0\leq 0=Y^{T}AX_{0}}$ et de même pour l'autre inégalité. Le tirage équiprobable par les deux joueurs constitue un équilibre de Nash.

Le modèle économique utilisé ne peut se contenter d'un concept d'utilité ordinale. Si on se borne à supposer comparables entre elles les satisfactions ou désagréments d'un joueur, on construit un ensemble totalement ordonné : on peut ainsi dire que Xavier préfère gagner 100 euros à ne rien gagner du tout, et ne rien gagner du tout à perdre 100 euros. Mais que fera-t-il si on lui propose de participer à une loterie où il a une chance sur deux de s'enrichir de 100 euros et une chance sur deux de s'appauvrir du même montant ? Est-ce pour lui plus tentant que de s'abstenir et de s'assurer ainsi de ne rien perdre, mais ne rien gagner non plus ? Si le joueur ressent de l'aversion pour la prise de risque, il refusera la loterie puisqu'elle lui propose le même gain moyen que l'abstention, mais avec plus de risque. Mais comment maintenant se comportera-t-il si on lui offre deux chances sur trois de gagner et une chance sur trois de perdre ? À partir de quelle valeur du paramètre accepte-t-il de jouer ? L'introduction d'une théorie cardinale de l'utilité permettrait de répondre, une théorie purement ordinale ne suffit pas en revanche à donner un sens à une espérance de gain en situation aléatoire, et donc à mettre sur pied le modèle justifiant les applications en économie du théorème du minimax.

Pour donner un sens au calcul d'espérance mathématique par lequel passe la justification du modèle, von Neumann et Morgenstern se sont efforcés de fonder l'utilisation d'une théorie cardinale, et ont développé une théorie de l'utilité de l'incertain suffisante pour fonder leur modèle. Mathématiquement rigoureuse, la théorie n'en a pas moins été contestée dès son introduction, la contestation passant nécessairement par celle de ses axiomes : voir en ce sens le fameux paradoxe d'Allais, explicité par Maurice Allais[5].

Mais si l'utilité cardinale n'est qu'un concept mathématique découplé de la réalité, les formalisations probabilistes en théorie des jeux sont mal fondées. Tout en nuançant son propos (il concède que les théories de la décision qu'il critique « ont établi leur pertinence et leur puissance dans de multiples applications »), Russel Hardin peut ainsi décocher quelques flèches contre les modèles à base de stratégies mixtes : il fait par exemple observer qu'il se pourrait bien qu'il n'y ait aucun moyen sensé de définir une combinaison de victoires et de défaites de deux pays en guerre qui puisse être raisonnablement considérée comme à mi-chemin de la victoire totale et de la défaite totale d'une des parties[6].

Enfin, même en admettant pouvoir définir pour chaque joueur une utilité cardinale et donc développer une théorie considérant des stratégies mixtes, cela ne suffit pas à justifier qu'on puisse reconnaître si un jeu vérifie l'hypothèse de « somme nulle » : pour pouvoir exiger que le gain de Xavier équilibre la perte d'Yvette, il faut aussi postuler la comparabilité de leurs utilités, ce qui ne va pas de soi[7].

Au début de l'année 1926 John von Neumann, âgé de 22 ans, vient de soutenir son doctorat à Budapest. Bien qu'inscrit à l'université de sa ville natale, il ne l'a fréquentée qu'au moment de passer des examens et a suivi sa formation à l'université de Berlin de 1921 à 1923 puis à l'École polytechnique fédérale de Zurich. Ayant accédé à un Fellowship de la Fondation Rockefeller, il va séjourner pendant l'année universitaire 1926-1927 à l'Université de Göttingen où exerce alors David Hilbert. C'est pendant cette période qu'il va concevoir sa première démonstration du théorème du minimax, qu'il exposera en décembre 1926 au séminaire de mathématiques[8].

Pour expliquer pourquoi von Neumann s'est intéressé à la théorie des jeux, des raisons psychologiques assez peu convaincantes ont été apportées : on a ainsi noté son goût pour le poker, signalé qu'il avait constitué une collection de jeux d'enfants, voire souligné qu'il faisait preuve d'un humour parfois assez puéril[9]. Plus intéressantes sont les analyses de Philip Mirowski et Robert J. Leonard pour qui la conception du théorème du minimax ne doit pas être détachée du séjour de von Neumann à Göttingen et de l'influence qu'exerce alors sur lui l'« école formaliste » constituée autour de Hilbert[Note 3]. En même temps qu'ils travaillent sur le programme de Hilbert de formalisation finitiste des mathématiques, les représentants de cette école s'intéressent en effet aussi à la formalisation mathématique de la réalité, notamment en physique mathématique — ainsi c'est également à Göttingen, en 1925, qu'un jeune privatdozent, Werner Heisenberg, en collaboration avec Max Born et Pascual Jordan, met au point la formulation de la mécanique quantique en termes de mécanique matricielle[Note 4]. On peut aussi rappeler que c'est aussi un ancien collaborateur de Hilbert à Göttingen, Ernst Zermelo qui, en 1913, a été le pionnier de la théorie des jeux non synchrones par son travail de mathématisation des échecs[10].

En revanche, la recherche économique ne semble guère avoir influencé l'élaboration du théorème du minimax, même si une note dans l'article de 1928 montre que von Neumann est conscient qu'il y a là un champ de développement de ses idées. Pour Robert J. Leonard, qui ne constate des échanges de correspondance entre von Neumann et des économistes qu'à partir de 1927 et se fonde sur le mode d'exposition du théorème dans les années 1930, la théorie des jeux reste d'abord pour von Neumann jusqu'aux alentours de 1940 ce qu'elle est dans le titre de son article de 1928 : une théorie des « jeux de société »[11].

Nombre de cours ou traités consacrés à la théorie des jeux dans son ensemble mettent en relief le caractère profondément innovant du théorème de von Neumann, où ils lisent l'invention de la théorie des jeux synchrones[Note 5].

Dans les études historiques plus complètes, les précurseurs de von Neumann sont davantage considérés. La première référence où les historiens observent l'élaboration d'une stratégie de jeu par recherche d'un maximin est une lettre de novembre 1713 de Pierre Rémond de Montmort où il décrit une solution du jeu de Le Her (en) due à James Waldegrave qui est déjà ce qu'on appelle aujourd'hui une stratégie mixte[12].

Mais ce sont surtout trois notes d'Émile Borel aux comptes rendus de l'Académie des sciences qui attirent l'attention des spécialistes de l'histoire du minimax. Dans celles-ci, Borel formalise mathématiquement pour la première fois la notion générale de stratégie mixte, prouve le théorème du minimax pour des jeux symétriques à moins de cinq stratégies pures, mais conjecture l'existence de contre-exemples pour des matrices de taille plus grande.

À l'en croire, quand il découvre de son côté le théorème du minimax, von Neumann ignore tout des travaux de Borel[Note 6]. Dans son article de 1928, von Neumann précise avoir découvert ceux-ci postérieurement à l'envoi pour publication, et en fait mention par une note de bas de page.

En revanche, les travaux de Borel ne sont nulle part signalés dans son ouvrage influent de 1944 (Theory of Games and Economic Behavior) publié conjointement avec Oskar Morgenstern qui va contribuer à populariser la nouvelle théorie des jeux.

La discussion de l'importance respective des contributions des deux grands mathématiciens prend un ton polémique lorsqu'en 1953, au sommet de la gloire de von Neumann, Maurice Fréchet publie deux notes où il qualifie Borel d'« initiateur » de la théorie des jeux ; il ajoute incidemment que même si Borel avait démontré le premier le théorème, il n'aurait, comme von Neumann, qu'« enfoncé une porte ouverte » (« simply entered an open door ») puisque le théorème et même des versions plus générales avaient été prouvés très antérieurement aux travaux de Borel[Note 7]. Von Neumann répond sèchement à l'agression, soulignant encore qu'il ne connaissait pas les travaux du mathématicien français quand il a lui-même découvert le théorème, et que cela valait sans doute mieux puisque la conjecture de celui-ci était fausse ; il ne lui paraît pas que la mise sous forme mathématique du problème soit une contribution aussi essentielle que la complète résolution qu'il y a apportée, et refuse de reconnaître en Borel l'initiateur de la théorie (« In view of this, Borel did hardly "initiate" the theory »)[13].

Notamment dans les années 1960 et 1970, de multiples expériences de psychologie ont mesuré le comportement réel d'acteurs soumis à des jeux à la von Neumann, avec diverses variantes méthodologiques : jeux à points-selles ou jeux à stratégie optimale mixte, jeu contre un autre sujet d'expérience ou jeu contre un expérimentateur (qui peut lui-même soit utiliser la stratégie du minimax, soit sciemment utiliser une mauvaise stratégie)... Les résultats en sont très disparates. On y observe assez souvent la convergence vers la stratégie appropriée pour les joueurs à qui on propose un adversaire volontairement malhabile ; on constate déjà plus rarement la convergence vers le minimax contre un adversaire jouant le minimax. Plusieurs auteurs annoncent des résultats absolument négatifs et ne mesurent aucune tendance de leurs sujets d'expérience à se diriger vers la stratégie supposée « rationnelle », celle du minimax. Une expérience menée sur des rats ne décèle pas chez eux une meilleure aptitude que chez les humains à apprécier les subtilités du théorème de von Neumann : si leur comportement n'est pas aléatoire, la tendance qu'on y constate est une préférence pour le maximax, la stratégie pure qui rend envisageable la plus forte récompense[22].

Même si la théorie des jeux à somme nulle ne modélise que rarement de façon correcte des situations réelles, il est parfois possible de représenter des problèmes de décision comme des jeux à deux joueurs et à somme nulle, puis de contrôler a posteriori si les acteurs appliquent ou non une stratégie de maximin.

Un travail abondamment cité de l'anthropologiste William Davenport, publié en 1960, modélise le comportement de pêcheurs jamaïcains par un modèle à la von Neumann. Ces pêcheurs disposent de trois choix différents pour installer leurs casiers, les coûts des trois choix étant bien distincts (distance à parcourir) et tous n'étant pas également poissonneux. Face à eux, la nature peut ou non déclencher de forts courants imprévisibles, susceptibles de diminuer significativement le rapport des casiers, leur influence étant d'ampleur très différente d'un site à l'autre. On peut mesurer, pour chaque choix conjoint (le choix du site du côté du pêcheur, celui de rester calme ou se déchaîner du côté de la nature), le bénéfice que tire le pêcheur de sa journée de travail. L'application du théorème de von Neumann à la matrice ${\displaystyle (3,2)}$ ainsi obtenue fournit de très près la répartition effectivement mesurée des pêcheurs entre les trois sites. Las, la méthode est critiquable, et a été critiquée : utiliser le modèle du minimax quand « la nature » est un des joueurs, c'est mal le comprendre puisqu'il est certain que celle-ci n'adaptera pas sa stratégie au comportement de son adversaire, ne tiendra pas compte des habitudes des pêcheurs locaux pour décider avec quelle fréquence déclencher le courant dévastateur. Même si on peut ensuite critiquer la critique et expliquer en quoi le comportement des pêcheurs est tout de même rationnel, l'étude de Davenport est donc difficilement admissible comme pièce à l'appui du modèle de von Neumann[23].

En revanche, les observations confirment que le modèle du maximin est bien prédictif lorsque s'opposent des joueurs humains hautement compétents. Au football, en considérant le jeu à somme nulle qui oppose le joueur exécutant au gardien de but au moment du penalty, les données constatées recoupent avec une excellente précision les prédictions du modèle de von Neumann[16] - [24].

• Émile Borel, « La théorie du jeu et les équations intégrales à noyau symétrique », Comptes rendus de l'Académie des sciences, vol. 173,‎ 1921, p. 1304-1308 (lire en ligne)
• Émile Borel, « Sur les jeux où le hasard se combine avec l'habileté des joueurs », Comptes rendus de l'Académie des sciences, vol. 178,‎ 1924, p. 25-26 (lire en ligne)

• Émile Borel, « Un théorème sur les systèmes de formes linéaires à déterminant symétrique gauche », Comptes rendus de l'Académie des sciences, vol. 183,‎ 1926, p. 925-927 (lire en ligne)

• (de) John von Neumann, « Zur Theorie der Gesellschaftspiele », Mathematische Annalen, vol. 100,‎ 1928, p. 295-320 (lire en ligne)

• (de) John von Neumann, « Über ein ökonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes », Ergebnisse eines Mathematischen Seminars (Karl Menger éd.), vol. 8,‎ 1937, p. 73-83

• Jean Ville, « Sur la théorie générale des jeux où intervient l'habileté des joueurs » dans Émile Borel et ses collaborateurs, Traité du calcul des probabilités et de ses applications, 2 (1938), p. 105-113.

• (en) John von Neumann et Oskar Morgenstern, Theory of games and economic behavior, Princeton University Press, 1944

• (en) Julia Robinson, « An iterative method of solving a game », Annals of Maths, vol. 54,‎ 1950, p. 296-301 (lire en ligne)

• (en) Hermann Weyl, « Elementary Proof of a Minimax Theorem due to von Neumann » dans H. W. Kuhn et A. W. Tucker (éd.), Contributions to the Theory of Games Vol.I, Annals of mathematics studies 24 (1950), p. 19-25 (Princeton University Press)

• (en) Maurice Fréchet, « Émile Borel, Initiator of the Theory of Psychological Games and its Applications », Econometrica, vol. 21,‎ 1953, p. 95-96

• (en) Maurice Fréchet, « Commentary on the three notes of É. Borel », Econometrica, vol. 21,‎ 1953, p. 118-123

• (en) John von Neumann, « Communication on the Borel notes », Econometrica, vol. 21,‎ 1953, p. 124-125

• (en) William Davenport, « Jamaican fishing: a game theory analysis » dans Sidney W. Mintz (éd.), Papers in Caribbean anthropology, Yale University Publications in Anthropology 57-64 (1960), p. 3-11 (Department of Anthropology, Yale University)

• (en) Guillermo Owen, « Communications to the Editor—An Elementary Proof of the Minimax Theorem », Management science, vol. 13,‎ 1967, p. 765

• Point-selle
• Fonction convexe-concave
• Théorèmes de von Neumann
• Loterie solaire
• Conditions de Kuhn-Tucker
• Théorème de Parthasarathy, généralisation dans l'étude des jeux sur le carré unité.

Presque tout ouvrage général de théorie des jeux destiné à un public sensibilisé aux mathématiques contiendra un énoncé du théorème de von Neumann, et souvent sa démonstration.

• (de) Roger Berger et Rupert Hammer, « Links oder rechts; das ist hier die Frage. Eine spieltheoretische Analyse von Elfmeterschüssen mit Bundesligadaten », Arbeitsberichte des Instituts für Soziologie der Universität Leipzig, n^o 47,‎ janvier 2007 (lire en ligne)
  L'exemple mis en relief dans le résumé introductif : théorie et pratique des penalties en matchs de Bundesliga.

• (en) Ken Binmore, Playing for Real : A Text on Game Theory, Oxford University Press US, 2007, 639 p. (ISBN 978-0-19-530057-4, lire en ligne)
  Un cours d'initiation à la théorie des jeux et à son formalisme mathématique, par un des spécialistes mondiaux du sujet.

• (en) A. A. Korbut, « Matrix game » [Lire en ligne (page consultée le 23 février 2009)] dans (en) Michel Hazewinkel, éd., Encyclopaedia of mathematics : An updated and annotated translation of the Soviet Mathematical Encyclopaedia, Dordrecht/Boston/London, Reidel, 1988 (ISBN 1-55608-010-7)
  Un article d'encyclopédie précis et concis.

• William Poundstone (en), Le dilemme du prisonnier : Von Neumann, la théorie des jeux et la bombe, Cassini, 2003 (pour la traduction - édition en anglais de 1993), 388 p. (ISBN 978-2-84225-046-1)
  Un ouvrage de vulgarisation à la forme narrative, qui évite le formalisme mathématique. Disponible en français.

• Christian Schmidt, Quelques repères historiques sur la théorie des jeux de Leibniz à von Neumann [PDF]
• (en) E. Roy Weintraub (éd.), Toward a History of Game Theory : annual supplement to volume 24 History of political economy, Durham (N. C.)/London, Duke University Press, 1991, 306 p. (ISBN 0-8223-1253-0, lire en ligne)

• (en) Mary Ann Dimand et Robert W. Dimand, A History of Game Theory, Volume I : From the Beginnings to 1945, Routledge, 1996, 200 p. (ISBN 978-0-415-07257-1)

• (en) Robert J. Leonard, « From Parlor Games to Social Science: von Neumann, Morgenstern, and the Creation of Game Theory. 1928-1944 », Journal of Economic Literature, vol. 33,‎ juin 1995, p. 730-761

• (en) Luca dell'Aglio, « Divergences in the history of mathematics : Borel, von Neumann and the genesis of game theory », Rivista della storia della scienza, vol. 3,‎ 1995, p. 1-46

• (en) Tinne Hoff Kjeldsen, « John von Neumann's Conception of the Minimax Theorem: A Journey Through Different Mathematical Contexts », Archive for History of Exact Sciences Volume, vol. 56, n^o 1,‎ novembre 2001, p. 39-68