Mathématiques pures
Les mathématiques pures (ou mathématiques fondamentales) regroupent les activités de recherche en mathématiques motivée par des raisons autres que celles de l'application pratique.
Les mathématiques pures reposent sur un ensemble d'axiomes et sur un système logique, détachés de l'expérience et de la réalité. Il n'est cependant pas rare que des théories développées sans objectif pratique soient utilisées plus tard pour certaines applications, comme la géométrie riemannienne pour la relativité générale.
Histoire
Grèce antique
Les mathématiciens de la Grèce antique ont été parmi les premiers à faire une distinction entre les mathématiques pures et appliquées.
Platon a contribué à l'écart entre l'« arithmétique », et la « logistique », maintenant appelée arithmétique. Platon considérait la logistique (arithmétique) comme appropriée pour les hommes d'affaires et les hommes de guerre qui « doivent apprendre l'art des nombres ou [ils] ne sauront pas comment arranger [leurs] troupes » et l'arithmétique comme appropriée aux philosophes[1].
« Un élève ayant demandé un jour à Euclide quelle était l'utilité de la géométrie, le célèbre mathématicien, hors de lui, ordonna à un esclave de donner quelques pièces de monnaie au garçon « pour qu'il puisse voir l'utilité de ce qu'il apprend ». C'est une légende, bien sûr, mais […][2]. »
Apollonios de Perga a fait valoir, dans la préface du cinquième livre des Coniques, que les sujets d'un de ceux-ci « ... semblent digne d'être étudiés pour eux-mêmes »[3].
XIXe siècle
Le terme lui-même est inscrit dans le titre complet de la chaire sadleirienne, fondée au milieu du XIXe siècle. L'idée de faire des mathématiques pures une discipline à part entière pourrait avoir émergé à cette époque. La génération de Gauss ne fait aucune distinction radicale entre les mathématiques pures et appliquées.
XXe siècle
Au début du XXe siècle, les mathématiciens ont utilisé la méthode axiomatique, fortement influencée par David Hilbert. La formulation logique des mathématiques pures suggérée par Bertrand Russell semblait de plus en plus plausible, puisque de grandes parties des mathématiques se sont axiomatisée et se sont donc soumis à des critères de démonstration rigoureuse.
En fait, dans un cadre axiomatique, le rigoureux n'ajoute rien à l'idée de démonstration. Les mathématiques pures, selon un point de vue qui peut être attribué au collectif Bourbaki, est ce qui est démontré[4].
Généralité et abstraction
Un concept central en mathématiques pures est l'idée de généralité ; les mathématiques pures présentent souvent une tendance vers une plus grande généralité.
- La généralisation de théorèmes ou de structures mathématiques peut conduire à une meilleure compréhension des théorèmes ou structures originales.
- La généralisation peut simplifier la présentation du matériel, ce qui entraîne des démonstrations ou des arguments étant plus faciles à suivre, plus courts.
- On peut utiliser la généralité pour éviter la duplication des efforts, ce qui amène à une méthode générale au lieu d'avoir à démontrer des cas séparés indépendamment, ou en utilisant les résultats d'autres domaines mathématiques.
- La généralisation peut faciliter les connexions entre les différentes branches des mathématiques. La théorie des catégories est un domaine des mathématiques dédié à la découverte de points en commun entre certains domaines des mathématiques.
L'impact de la généralité sur l'intuition est à la fois dépendante du sujet, et une question de préférence personnelle. Souvent, la généralité est considérée comme un obstacle à l'intuition, mais elle peut certainement fonctionner comme une aide à celle-ci.
On peut prendre pour exemple le programme d'Erlangen, qui a développé une expansion de la géométrie afin d'accueillir des géométries non-euclidiennes, ainsi que le domaine de la topologie et d'autres sous-domaines de la géométrie, en étudiant la géométrie comme un espace avec un groupe de transformations. L'étude des nombres, appelée algèbre au début de son apprentissage, s'étend ensuite à l’algèbre abstraite à un niveau plus avancé ; et l'étude des fonctions, appelée calcul à ses débuts, à l’analyse mathématique et l’analyse fonctionnelle à un niveau plus avancé. Chacune de ces branches mathématiques plus abstraites a de nombreux sous-domaines, et il existe en fait beaucoup de liens entre les disciplines des mathématiques pures. Un fort développement de l'abstraction a été observé au milieu du XXe siècle.
Cependant, en pratique, ces évolutions ont conduit à une forte divergence en physique, en particulier de 1950 à 1983. Plus tard, cette divergence fut critiquée, par exemple par Vladimir Arnold, car trop de Hilbert, pas assez de Poincaré.
Sous-domaines
Les mathématiciens ont toujours eu des opinions divergentes en ce qui concerne la distinction entre les mathématiques pures et appliquées. Un des exemples modernes les plus célèbres (mais sans doute mal compris) de ce débat se trouve dans A Mathematician's Apology, de G. H. Hardy.
Il est largement admis que Hardy a considéré les mathématiques appliquées comme laides et ternes. Bien qu'il soit vrai qu'Hardy préfère les mathématiques pures, et qu'il les a souvent comparées à la peinture et à la poésie, Hardy a perçu la distinction entre mathématiques pures et appliquées qui est tout simplement que, les mathématiques appliquées cherchent à exprimer la vérité physique dans un cadre mathématique, alors que les mathématiques pures expriment des vérités étant indépendantes du monde physique. Hardy fait ainsi une distinction des mathématiques entre ce qu'il appelle les mathématiques « réelles », « qui ont une valeur esthétique permanente », et « les parties ternes et élémentaires des mathématiques » qui ont une utilisation pratique.
Hardy considérait certains physiciens, comme Einstein et Dirac, d'être parmi les « vrais » mathématiciens, mais au moment où il écrivait l'Apology, il a également considéré la relativité générale et la mécanique quantique comme étant « inutiles », ce qui lui a permis d'affirmer que seules les mathématiques « ternes » sont utiles[5].
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pure mathematics » (voir la liste des auteurs).
- (en) Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, , 2e éd., 736 p. (ISBN 0-471-54397-7), « The age of Plato and Aristotle », p. 86 :
« Plato is important in the history of mathematics largely for his role as inspirer and director of others, and perhaps to him is due the sharp distinction in ancient Greece between arithmetic (in the sense of the theory of numbers) and logistic (the technique of computation). Plato regarded logistic as appropriate for the businessman and for the man of war, who "must learn the art of numbers or he will not know how to array his troops." The philosopher, on the other hand, must be an arithmetician "because he has to arise out of the sea of change and lay hold of true being." »
- Marco Wolf, C'est prouvé scientifiquement, Paris, Books on Demand, , 345 p. (ISBN 978-2-322-08213-1, lire en ligne), chap. 6 (« Rien ne sert à rien et réciproquement (éloge des mathématiques pures) »), p. 68-69.
- Boyer 1991, p. 152, « Apollonius of Perga » :
« It is in connection with the theorems in this book that Apollonius makes a statement implying that in his day, as in ours, there were narrow-minded opponents of pure mathematics who pejoratively inquired about the usefulness of such results. The author proudly asserted: "They are worthy of acceptance for the sake of the demonstrations themselves, in the same way as we accept many other things in mathematics for this and for no other reason." (Heath 1961, p.lxxiv).
The preface to Book V, relating to maximum and minimum straight lines drawn to a conic, again argues that the subject is one of those that seem "worthy of study for their own sake." While one must admire the author for his lofty intellectual attitude, it may be pertinently pointed out that s day was beautiful theory, with no prospect of applicability to the science or engineering of his time, has since become fundamental in such fields as terrestrial dynamics and celestial mechanics. » - A. S. Hathaway (1901) "Pure mathematics for engineering students", Bulletin of the American Mathematical Society 7(6):266–71.
- Andy Magid, Letter from the Editor, in Notices of the AMS, November 2005, American Mathematical Society, p.1173.