Dilemme du prisonnier

La première expérience du dilemme du prisonnier a été réalisée en 1950 par Melvin Dresher et Merill Flood, qui travaillaient alors pour la RAND Corporation. Par la suite, Albert W. Tucker la présenta sous la forme d'une histoire :

Deux suspects sont arrêtés par la police. Mais les agents n'ont pas assez de preuves pour les inculper, donc ils les interrogent séparément en leur faisant la même offre. « Si tu dénonces ton complice et qu'il ne te dénonce pas, tu seras remis en liberté et l'autre écopera de 10 ans de prison. Si tu le dénonces et lui aussi, vous écoperez tous les deux de 5 ans de prison. Si personne ne dénonce l'autre, vous aurez tous deux 6 mois de prison. »

On résume souvent la situation dans un tableau[2]

et les utilités de chacun dans ce tableau appelé "Matrice des Paiements" :

Chacun des prisonniers réfléchit de son côté en considérant les deux cas possibles de réaction de son complice.

• « Dans le cas où il me dénoncerait :
  • Si je me tais, je ferai 10 ans de prison ;
  • Mais si je le dénonce, je ne ferai que 5 ans. »
• « Dans le cas où il ne me dénoncerait pas :
  • Si je me tais, je ferai 6 mois de prison ;
  • Mais si je le dénonce, je serai libre. »

« Quel que soit son choix, j'ai donc intérêt à le dénoncer. »

Si chacun des complices fait ce raisonnement, les deux vont probablement choisir de se dénoncer mutuellement, ce choix étant le plus empreint de rationalité. Conformément à l'énoncé, ils écoperont dès lors de 5 ans de prison chacun. Or, s'ils étaient tous deux restés silencieux, ils n'auraient écopé que de 6 mois chacun. Ainsi, lorsque chacun poursuit son intérêt individuel, le résultat obtenu n'est pas optimal au sens de Pareto.

Ce jeu est à somme non nulle, c'est-à-dire que la somme des gains pour les participants n'est pas toujours la même : il soulève une question de coopération.

Pour qu'il y ait dilemme, la tentation ${\displaystyle T}$ (je le dénonce, il se tait) doit payer plus que la coopération ${\displaystyle C}$ (on se tait tous les deux), qui doit rapporter plus que la punition pour égoïsme ${\displaystyle P}$ (je le dénonce, il me dénonce), qui doit être plus valorisante que la duperie ${\displaystyle D}$ (je me tais, il me dénonce). Ceci est formalisé par :

${\displaystyle T>C>P>D}$ (ici : ${\displaystyle 0>-0,5>-5>-10}$)

Pour qu'une collaboration puisse naître dans un dilemme répété (ou itératif) (voir plus bas), « 2 coups de coopération ${\displaystyle C}$ » doit être plus valorisant que l'alternat « Tentation ${\displaystyle T}$ / Duperie ${\displaystyle D}$ ».

Ce qui fait la condition ${\displaystyle 2C>T+D}$ [ici : ${\displaystyle 2*(-0,5)>0+(-10)}$].

Le problème devient sensiblement différent lorsqu'ils y a plusieurs prisonniers tous à l'isolement. Le risque de défection de l'un d'eux devient de ce fait bien plus grand que lorsqu'il n'y en a que deux. Il peut en ce cas être plus réaliste de miser sur le fait qu'il y aura une défection… bien que si chacun en fait autant, tout le monde se retrouve avec une peine de cinq ans d'emprisonnement.

Le dilemme du prisonnier fournit un cadre général pour penser les situations où deux ou plusieurs acteurs ont un intérêt à coopérer, mais un intérêt encore plus fort à ne pas le faire si l'autre le fait, et aucun moyen de contraindre l'autre. Les exemples suivants permettront de mieux cerner la diversité des applications possibles et la grande généralité du cadre du dilemme du prisonnier.

La situation concurrentielle des médias ressemble à un dilemme du prisonnier dans la mesure où ils privilégient la rapidité avant la qualité de l'information, d'où un phénomène de mutualisation des erreurs[3].

Un exemple est le cas de deux entreprises qui n'ont pas le droit de s'entendre sur une politique commerciale commune (comme c'est le cas par exemple avec le droit antitrust des États-Unis et les droits français et européen de la concurrence) et qui se demandent s'il leur faut procéder ou non à une baisse de prix pour conquérir des parts de marché aux dépens de leur concurrent. Si toutes deux baissent leur prix, elles seront généralement toutes deux perdantes par rapport au statu quo[4]. On peut aussi évoquer à ce propos les biens collectifs (dont tout le monde veut bénéficier, tout en voulant les faire financer par les autres), le cas des quotas textiles destinés à éviter une chute des prix mais que chacun cherche à contourner, ou les campagnes publicitaires coûteuses pour le même bien qui se neutralisent[5]. À noter que l'équilibre atteint dans le dilemme du prisonnier n'est pas un optimum au sens néo-classique du terme.

Les courses cyclistes sur route, dont le Tour de France, offrent d'autres exemples d'interactions stratégiques de type « dilemme du prisonnier », notamment lorsque deux coureurs échappés doivent décider s'ils font l'effort ou s'ils profitent au maximum de l'aspiration de leur co-échappé : si chacun profite de l'aspiration de l'autre (ce que chacun préfère), l'échappée échoue[6].

La théorie des jeux, et le dilemme du prisonnier en particulier, sont fréquemment utilisés en écologie pour modéliser l'évolution des comportements entre individus d'une même espèce vers des stratégies évolutivement stables. L'apparition et le maintien des comportements de collaboration par exemple, se prêtent à ce type d'analyse. Richard Dawkins en a fait l'un des points centraux de sa théorie du gène égoïste, puisque l'optimisation de la survie peut passer par un comportement apparemment altruiste[7].

Considérons deux pays rivaux. Chacun peut choisir de maintenir ou non une armée. Si tous deux ont une armée (de force à peu près équivalente), la guerre est moins « tentante », car très coûteuse ; c'était la situation de la guerre froide. Les dépenses militaires et la course aux armements sont alors une perte nette pour les deux pays. Si un seul a une armée, il peut évidemment conquérir sans coup férir l'autre, ce qui est pire. Enfin, si aucun n'a d'armée, la paix règne et les pays n'ont pas de dépense militaire. La situation de coopération permettant à chacun de ne pas avoir d'armée est évidemment préférable à la situation où les deux pays en entretiennent une, mais elle est instable : chacun des deux pays a une forte incitation à se doter unilatéralement d'une armée pour dominer l'autre[8].

La poule-mouillée est un autre jeu à somme non nulle, où la coopération est récompensée. Ce jeu est similaire au dilemme du prisonnier en ce qu'il est avantageux de trahir lorsque l'autre coopère. Mais il en diffère en ce qu'il est avantageux de coopérer si l'autre trahit : la défection double est la pire des solutions — donc un équilibre instable — alors que dans le dilemme du prisonnier il est toujours avantageux de trahir, ce qui rendait l'équilibre de double défection stable. La double coopération est dans les deux jeux un équilibre instable.

Une matrice des gains ressemble à :

• si les deux coopèrent, ils reçoivent +5 ;
• si l'un coopère alors que l'autre se défausse, alors le premier obtient +1 et l'autre +10 ;
• si les deux font défaut, ils touchent -20.

L'appellation « poule-mouillée » est tirée du « jeu » automobile :

• Deux voitures se lancent l'une vers l'autre, prêtes à se rentrer dedans. Chaque joueur peut dévier et éviter la catastrophe (coopération) ou garder le cap au risque de la collision (défection).

Il est avantageux d'apparaître comme un « dur » qui ne renoncera pas et d'intimider l'adversaire… tant qu'on parvient à rester en jeu.

On trouve des exemples concrets dans beaucoup de situations quotidiennes : l'entretien de la maison commune à un couple, par exemple, ou l'entretien d'un système d'irrigation entre deux fermiers. Chacun peut l'entretenir seul, mais ils en profitent tous les deux autant. Si l'un d'entre eux n'assure pas sa part d'entretien, l'autre a toujours intérêt à le faire à sa place, pour continuer à arroser. Par conséquent, si l'un parvient à établir une réputation d'indélicat dominant — c'est-à-dire si l'habitude est prise que ce soit toujours l'autre qui s'occupe de l'entretien — il sera susceptible de maintenir cette situation.

Cet exemple peut également s'appliquer en politique internationale, dans la situation où deux États entretiennent un différend qui est susceptible de déboucher sur une guerre. Passer pour une poule mouillée est une garantie d'être ultérieurement confronté à nouveau à la même situation (comme la France et la Grande-Bretagne le constatèrent avant 1939), mais maintenir une réputation suppose une dépense (entretien militaire) et des risques (guerre toujours possible).

« Ami ou ennemi » (« Friend or Foe? (en) ») est un jeu sur une chaîne câblée aux États-Unis (Game Show Network). C'est un exemple de dilemme du prisonnier testé sur des particuliers dans un cadre artificiel. Sur le plateau, trois paires de participants s'affrontent. Quand une paire est éliminée, ses deux membres se répartissent leurs gains selon un dilemme du prisonnier. Si les deux coopèrent (« Friend »), ils partagent équitablement la somme accumulée au cours du jeu. Si aucun ne coopère (« Foe »), ils se quittent sans rien. Si l'un coopère et que l'autre fait défaut, le premier part les mains vides et l'autre remporte le tout. La situation est un peu différente de la matrice canonique plus haut : le gain est le même pour qui voit sa confiance trahie ou qui emporte l'autre dans sa perte. Si un joueur sait que l'autre le trahira, sa réponse lui est indifférente. L'équilibre non coopératif est donc neutre ici, alors qu'il est stable dans le cas habituel (du prisonnier).

La matrice à considérer est donc :

• si les deux coopèrent, chacun obtient 50 % ;
• si les deux font défaut, ils en tirent 0 % ;
• si l'un coopère et que l'autre le trahit, le premier reçoit 0 % et l'autre 100 %.

L'économiste John A. List a étudié le comportement des joueurs dans ce jeu pour tester les prédictions de la théorie des jeux dans un contexte réel. Les joueurs collaborent dans 50 % des cas mais on note des différences de comportement selon les caractéristiques socio-démographiques des joueurs. Par exemple, les hommes coopèrent moins souvent que les femmes. En revanche, il ressort de l'étude que les joueurs adaptent assez peu leur comportement à leur partenaire[9].

Le film The Dark Knight : Le Chevalier noir contient une version revisitée du dilemme du prisonnier[10].

L'épisode 6 Le dilemme du prisonnier de Voyages au pays des maths aborde cette question.

Dans N'oublier jamais (2014) de Michel Bussi, deux coupables jouent en apparence le dilemme du prisonnier pendant dix ans, le jeu qu'un policier devine et tente en vain de clore[11].

Le dilemme du prisonnier est le titre d'une vidéo de Wil Aime où quatre amis se retrouvent interrogés par un enquêteur qui leur propose un dilemme du prisonnier[12].

• Robert Axelrod, Donnant donnant - Une théorie du comportement coopératif (traduit aux éditions Odile Jacob 1992)
• (en) Robert Axelrod, The Evolution of Cooperation, 1984
• (en) Grofman et Pool, Bayesian Models for Iterated Prisoner's Dilemma Games. General Systems, 1975
• (en) John F. Nash, Non-Cooperative Games, in Annals of Mathematics, vol. 54, 1951, p. 289-295
• (en) William Poundstone, Prisoner's Dilemma: John von Neumann, Game Theory and the Puzzle of the Bomb, Doubleday, 1992 (ISBN 978-0-385-41567-5).
  Une introduction large et tout-public, comme l'indique le sous-titre.
• Nicolas Eber, Le dilemme du prisonnier, La Découverte, collection Repères, juin 2006

• Serge Aron, Luc Passera, Les sociétés animales, De Boeck, 2000

• Jean-Pierre Dupuy, Logique des phénomènes collectifs (introduction aux sciences sociales), édition Ellipse, 1992
• (en) James Miller, Game Theory at work : How to Use Game Theory to Outthink and Outmaneuver your Competition, New York, Mcgraw-Hill, 13 mars 2003, 288 p. (ISBN 978-0-07-140020-6), chap. 7 (« Prisonner's dilemma »), p. 118-120
• [PDF] Modélisation des interactions coopératives par Jean-Paul Delahaye

• Théorie des jeux
• Problème des marchands de glaces
• Jeu à somme non nulle et jeu à somme nulle
• Le problème du Rendez-vous et ses variantes (« Le match ou le concert », etc.), une autre classe de problèmes de coordination (donc à somme non nulle)
• L'équilibre de Nash ou équilibre stable au sens de John Forbes Nash
• La définition d'une stratégie évolutionnairement stable dans le cadre d'un jeu répété.
• Autorégulation
• Paradoxe de Newcomb
• Coopétition

• Notices d'autorité :

  • BnF (données)
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  • Espagne
  • Israël
• Ressource relative à la recherche :
  • (en) Stanford Encyclopedia of Philosophy
• Ressource relative à la santé :
  • (en) Medical Subject Headings
• Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste :

  • Britannica
• Ressources sur le dilemme itéré des prisonniers sur le site du Laboratoire d'Informatique Fondamentale de Lille.
• Jouer au dilemme du prisonnier en ligne
• Comprendre les comportements dans le dilemme du prisonnier
• (en) Le dilemme du prisonnier géométrique