Polynôme de Tchebychev

En mathématiques, un polynôme de Tchebychev est un terme de l'une des deux suites de polynômes orthogonaux particulières reliées à la formule de Moivre. Les polynômes de Tchebychev sont nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Pafnouti Lvovitch Tchebychev.

Il existe deux suites de polynômes de Tchebychev, l'une nommée polynômes de Tchebychev de première espèce et notée $T n$ et l'autre nommée polynômes de Tchebychev de seconde espèce et notée $U n$ (dans les deux cas, l'entier naturel $n$ correspond au degré).

Ces deux suites peuvent être définies par la relation de récurrence :

\forall n\in \mathbb {N} \quad P_{n+2}=2X~P_{n+1}-P_{n}

et les deux premiers termes :

T_{0}=1,~T_{1}=X{\text{ pour la suite }}T

U_{0}=1,~U_{1}=2X{\text{ pour la suite }}U

Chacune est une suite de polynômes orthogonaux par rapport à un produit scalaire de fonctions, associé à la fonction poids $w(x)=\left(1-x^{2}\right)^{-1/2}$ sur $[�?, 1]$ . Ces polynômes constituent un cas particulier des polynômes ultrasphériques[1].

Une définition alternative de ces polynômes peut être donnée par les relations trigonométriques :

{\displaystyle T_{n}\left(\cos \theta \right)=\cos \left(n\theta \right),\quad {\text{soit

ce qui revient, par exemple, à considérer $T n (cos θ)$ comme le développement de $cos(nθ)$ sous forme de polynôme en $cos θ$ .

Contrairement à d'autres familles de polynômes orthogonaux, tels ceux de Legendre, d'Hermite ou de Laguerre, les polynômes de Tchebychev n'ont pratiquement pas d'application directe en physique. En revanche, ils sont particulièrement utiles en analyse numérique pour l'interpolation polynomiale de fonctions. En premier lieu, en ce qui concerne le choix des points d'interpolation, comme les zéros de $T n (x)$ ou abscisses de Tchebychev, en vue de limiter le phénomène de Runge. Également, ils constituent une base alternative de polynômes par rapport à la base canonique $X n$ de $\mathbb {R} [X]$ des polynômes de Lagrange, ce qui permet d'améliorer sensiblement la convergence[1]. Ils sont notamment utilisés pour le calcul des éphémérides astrononomiques[2]

Polynômes de Tchebychev de première espèce

Il existe plusieurs possibilités pour définir cette famille de polynômes. La plus simple est par la relation de récurrence, qui permet de générer rapidement l'expression des différents polynômes. Toutefois, une telle définition ne permet guère d'établir les propriétés générales de ces polynômes, en premier lieu leur orthogonalité, aussi une autre définition, à partir des propriétés des fonctions trigonométriques, doit être envisagée.

Définition par la relation de récurrence

Courbes représentatives des premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sur le domaine �?/span>1 < x < 1 : La fonction constante T₀ et T₁, T₂, T₃, T₄ et T₅.

La définition classique des polynômes de Tchebychev de première espèce est le plus souvent donnée par la relation de récurrence suivante :

T_{n+1}=2XT_{n}-T_{n-1},\ \ \forall n\geq 1,\ {\textrm {avec}}\ T_{0}=1\ {\textrm {et}}\ T_{1}=X

Par récurrence, $T n$ est un polynôme de degré n.

Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sont :

T_{0}=1

T_{1}=X

T_{2}=2X^{2}-1

T_{3}=4X^{3}-3X

T_{4}=8X^{4}-8X^{2}+1

T_{5}=16X^{5}-20X^{3}+5X

T_{6}=32X^{6}-48X^{4}+18X^{2}-1

T_{7}=64X^{7}-112X^{5}+56X^{3}-7X

T_{8}=128X^{8}-256X^{6}+160X^{4}-32X^{2}+1

T_{9}=256X^{9}-576X^{7}+432X^{5}-120X^{3}+9X

Définition trigonométrique

On démontre que pour tout entier naturel $n$ ,

\forall \theta \in \mathbb {R} \quad \cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )

ce qui peut servir de définition alternative des polynômes $T n$ , vus comme fonctions polynomiales définies sur l'intervalle réel $[�?, 1]$ .

L'une des démonstrations[N 1] se fait par récurrence d'ordre 2, à l'aide de l'identité trigonométrique de Simpson suivante :

\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b

Le caractère orthogonal des polynômes $T n$ découle alors directement de celui des fonctions $cos(nθ)$ . Plus précisément, cette formule de Simpson montre de plus que les polynômes $T n$ sont orthogonaux par rapport à la fonction poids $w(x)=\left(1-x^{2}\right)^{-{\tfrac {1}{2}}}$ . En effet, pour deux entiers naturels $n$ et $p$ et avec le changement de variable $x = cos θ$ , il vient

\int _{0}^{\pi }{\cos(n\theta )\cos(p\theta )\,\mathrm {d} \theta }=\int _{-1}^{+1}{T_{n}(x)T_{p}(x)\left(1-x^{2}\right)^{-1/2}\,\mathrm {d} x}

Puis, à l'aide de la formule de Simpson :

\int _{-1}^{+1}{T_{n}(x)T_{p}(x)\left(1-x^{2}\right)^{-1/2}\,\mathrm {d} x}=\int _{0}^{\pi }{{\tfrac {\cos((n+p)\theta )+\cos((n-p)\theta )}{2}}\,\mathrm {d} \theta }={\begin{cases}0&{\text{si }}n\neq p\\\pi &{\text{si }}n=p=0\\\pi /2&{\text{si }}n=p\neq 0\end{cases}}

Équation différentielle

Pour tout $n$ , la fonction $\theta \mapsto \cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )$ est solution de l'équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants[N 2] :

y''+n^{2}y=0

Par suite, les polynômes de Tchebychev sont solutions de l'équation différentielle formelle[N 3] :

\left(1-X^{2}\right)T''_{n}-XT'_{n}+n^{2}T_{n}=0

Celle-ci peut aussi se mettre sous la forme d'une équation différentielle de Sturm-Liouville[N 4] :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\left(1-x^{2}\right)^{\tfrac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} T_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)+n^{2}\left(1-x^{2}\right)^{-{\tfrac {1}{2}}}T_{n}=0

Autres propriétés

Pour tout entier naturel $n$ , $T_{n}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}(X^{2}-1)^{k}X^{n-2k}$ où ${\binom {n}{2k}}$ est un coefficient binomial et $\left\lfloor \cdot \right\rfloor$ note la partie entière.
Pour tout entier $n$ strictement positif,

$T_{n}={\frac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}(2X)^{n-2k}$ .

Pour tout entier naturel $n$ , $T_{n}(1)=1$ .

Cette propriété se démontre aisément en considérant la forme trigonométrique de $T n$ , le cas $x = 1$ correspondant à θ = 0. On a aussi $T_{n}(-1)=(-1)^{n}$ , qui découle de la symétrie $T_{n}(-x)=(-1)^{n}T_{n}(x)$ .

Quels que soient les entiers naturels $m$ et $n$ , $T_{n}\circ T_{m}=T_{mn}$ et $2T_{m}T_{n}=T_{m+n}+T_{|m-n|}$ .
Pour tout entier $n$ strictement positif, le coefficient dominant de $T n$ est $2 n �?$ et ses $n$ racines sont

$a_{k}^{(n)}=\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\right),\quad \forall k\in \{1,\ldots ,n\}$ .

Pour tout entier $n > 0$ , les extremums de $T n$ sur l'intervalle $[�?, 1]$ sont atteints en $e_{k}^{(n)}=\cos {\frac {k\pi }{n}},\quad \forall k\in \{0,\ldots ,n\}$

(ce sont $�?, 1$ et les racines de $U n �?$ ), et $T_{n}(e_{k}^{(n)})=(-1)^{k}$ .

La parité dépend de $n$ : $T_{n}(-X)=(-1)^{n}T_{n}(X)$ .
Représentation intégrale : $T_{n}(x)={\frac {1}{4i\pi }}\int _{C}{\frac {1}{z^{n}}}{\frac {1-z^{2}}{z(1-2xz+z^{2})}}\,\mathrm {d} z$ où $C$ est un contour du plan complexe parcouru dans le sens trigonométrique, contenant zéro et excluant les zéros de $1 �?2 xz + z 2$ .
Séries génératrices
- ordinaire : $\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}t^{n}={\frac {1-tX}{1-2tX+t^{2}}}$ ,
- exponentielle : $\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{2}}\left({\rm {e}}^{(X-{\sqrt {X^{2}-1}})t}+{\rm {e}}^{(X+{\sqrt {X^{2}-1}})t}\right),$
- $\sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}(X){\frac {t^{n}}{n}}=-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-2tX+t^{2}\right),$ pertinente en particulier en théorie du potentiel.

Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sur le domaine �?¼ < x < 1¼, �?¼ < y < 1¼; la fonction constante

T 0

, et

T 1

T 2

T 3

T 4

T 5

Polynômes de Tchebychev de seconde espèce

Définition par récurrence

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sur le domaine �? < x < 1, �? < y < 5.

Les polynômes de seconde espèce $U n$ peuvent se définir par la même relation de récurrence que ceux de première espèce, avec des premiers termes différents :

U_{n+1}=2XU_{n}-U_{n-1},\ \ \forall n\geq 1\ {\textrm {avec}}\ U_{0}=1\ {\textrm {et}}\ U_{1}=2X

Par récurrence, $U n$ est un polynôme de degré $n$ .

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont :

U_{0}=1

U_{1}=2X

U_{2}=4X^{2}-1

U_{3}=8X^{3}-4X

U_{4}=16X^{4}-12X^{2}+1

U_{5}=32X^{5}-32X^{3}+6X

U_{6}=64X^{6}-80X^{4}+24X^{2}-1

U_{7}=128X^{7}-192X^{5}+80X^{3}-8X

U_{8}=256X^{8}-448X^{6}+240X^{4}-40X^{2}+1

U_{9}=512X^{9}-1024X^{7}+672X^{5}-160X^{3}+10X