Pafnouti Tchebychev

En ce qui concerne ses travaux en probabilités, Tchebychev posa les bases de l’application de la théorie des probabilités pour les statistiques, en généralisant les théorèmes de Moivre et Laplace dans son article « Sur deux théorèmes relatifs aux probabilités »[6] Il généralisera également dans la théorie des intégrales la fonction bêta, et examinera les intégrales de la forme ${\displaystyle \int {x^{p}(1-x)^{q}dx}}$. Cela le conduira à trouver un algorithme de recherche d’une solution optimale dans un système d’équations linéaires dont on connaît une solution approchée.

Les polynômes de Tchebychev sont définis comme des polynômes d'interpolation et notés généralement ${\displaystyle T_{n}}$. On les utilise dans les approximations polynomiales de fonctions numériques. Ils sont définis sur l'intervalle ${\displaystyle [-1;1]}$ par ${\displaystyle T_{n}(\cos x)=\cos nx~}$.

Ainsi, avec ${\displaystyle n}$ appartenant aux entiers naturels, on appelle polynôme de Tchebychev de degré ${\displaystyle n}$ l’application définie par :

${\displaystyle T_{n}:[-1;1]\rightarrow [-1;1],\qquad T_{n}(x)=\cos(n\,\arccos(x))}$

Énoncé : on a ${\displaystyle T_{0}(x)=1~}$ et ${\displaystyle T_{1}(x)=x~}$ et, pour tout ${\displaystyle n}$ appartenant à ${\displaystyle \mathbb {N}$ :\quad T_{n+2}(x)=2x\,T_{n+1}(x)-T_{n}(x)}

L’interpolation de Lagrange provoque un problème de convergence (due au phénomène de Runge). Tchebychev s’est aperçu qu’en utilisant les racines de ces polynômes comme points d’interpolation, on peut réduire la marge d’erreur provoquée par l’interpolation ; c’est d’ailleurs dans ce but qu’il a étudié ces polynômes. D’autre part, on verra plus loin que les polynômes de Tchebychev sont utilisés en électricité analogique dans le cadre des filtres. Ils sont également utilisés pour démontrer le théorème d'approximation de Weierstrass dont l’énoncé est le suivant : Toute fonction continue sur un intervalle est limite uniforme d'une suite de polynômes.

À partir de 1848, il obtint des résultats sur la conjecture de Gauss-Legendre (1792-1797[7]). Soit ${\displaystyle \pi (n)}$ le nombre de nombres premiers inférieurs à ${\displaystyle n}$. Gauss et Legendre conjecturent que la fonction ${\displaystyle \pi (n)}$ est asymptotiquement équivalente à ${\displaystyle {\frac {n}{\ln n}}}$ quand ${\displaystyle n}$ tend vers l'infini. Tchebychev renforça la plausibilité de cette conjecture en prouvant, d'une part que la fonction ${\displaystyle \pi (n)}$ est asymptotiquement de l'ordre de ${\displaystyle {\frac {n}{\ln n}}}$, d'autre part que si la suite de terme général ${\displaystyle {\frac {\pi (n)\ln n}{n}}}$ est convergente, alors sa limite est 1. Concernant le premier résultat il démontre, plus précisément : pour tout ${\displaystyle x}$ suffisamment grand on a

${\displaystyle a<{\frac {\pi (x)\ln x}{x}}<{\frac {6}{5}}a,}$

où la constante ${\displaystyle a}$ vaut 0,92129... Ces dernières inégalités sont appelées les inégalités de Tchebychev (en théorie des nombres ; à ne pas confondre avec d'autres inégalités démontrées par Tchebychev).

Riemann a lui aussi tenté de démontrer la conjecture de Legendre-Gauss, mais sans succès. Il a étudié les zéros de la fonction zêta, émettant l'hypothèse (hypothèse de Riemann) qu'ils ont tous une partie réelle égale à 1/2. Cette hypothèse est le 8^e problème de Hilbert et n’est toujours pas démontrée.

Énoncé

Pour tout entier ${\displaystyle n>1}$, il existe au moins un nombre premier compris entre les entiers ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle 2n}$.

Grâce aux inégalités pour ${\displaystyle \pi (x)}$ du paragraphe ci-dessus, avec des constantes impliquées suffisamment proches de 1 (0,92129... et 1,10555...), Tchebychev réussit à prouver que ${\displaystyle \pi (2n-3)-\pi (n)>0}$ pour tout ${\displaystyle n>3}$, ce qui renforce et démontre la conjecture énoncée par Bertrand.

Histoire

Cette conjecture est énoncée et admise par Joseph Bertrand en 1845, puis démontrée par Tchebychev en 1850. Edmund Landau remarque[8] qu'on peut en principe exploiter la méthode de Tchebychev pour montrer que pour tout entier ${\displaystyle n>n_{0}(\epsilon )}$, il existe un nombre premier entre ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle (1+\epsilon )n}$, pour autant que ${\displaystyle \epsilon >{\frac {171}{175}}\cdot {\frac {1}{5}}}$. En utilisant d'autres méthodes, d'autres mathématiciens ont démontré des résultats de ce type pour des valeurs de ${\displaystyle \epsilon }$ plus petites. Par exemple Robert Breusch (en), en 1932, démontre que pour tout entier ${\displaystyle n>47}$, il existe un nombre premier entre ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle 9n/8}$.

Tchebychev a beaucoup travaillé dans le cadre des probabilités, on le considère d’ailleurs comme celui qui a lancé la théorie des probabilités contemporaine. En 1867, il publie l’article « Des valeurs moyennes »[9] dans lequel il présente et démontre l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev afin de donner une loi générale des grands nombres.

Énoncé :

soit ${\displaystyle X}$ une variable aléatoire réelle d'espérance ${\displaystyle E(X)=m}$ et de variance ${\displaystyle V(X)=\sigma ^{2}}$. Alors, ${\displaystyle P(|X-m|>\lambda \sigma )\leqslant 1/\lambda ^{2}}$.

Jacques Bernoulli, Abraham de Moivre et Siméon Denis Poisson avaient déjà travaillé sur les théorèmes limites. Tchebychev reprit leurs travaux, et démontra les tendances asymptotiques des phénomènes naturels. Il établit une loi des grands nombres très générale et donna une nouvelle méthode de démonstration basée sur l'inégalité énoncée par Bienaymé et démontrée par lui.

En électronique analogique, il existe une famille de filtres nommée filtres de Tchebychev. On les nomme ainsi en raison de leurs caractéristiques mathématiques, qui sont dérivées des polynômes de Tchebychev.

Les filtres de Tchebychev sont un type de filtre caractérisé par l'acceptation d'une ondulation, soit en bande passante, soit en bande atténuée. Dans le cas d’une bande passante, on parle de filtres de Tchebychev directs ou de type 1 ; dans le cas d’une bande atténuée, on parle de filtres de Tchebychev inverses ou de type 2. Les filtres qui présentent une ondulation à la fois en bande passante et en bande atténuée sont appelés filtres elliptiques.

Le filtre de Tchebychev de type 1 présente de multiples ondulations en bande passante, mais, à ordre constant, il permet une meilleure sélectivité que le filtre de Butterworth. La valeur maximale des ondulations en bande passante est un paramètre de conception du filtre. Plus cette valeur est importante (à ordre constant), plus le filtre est sélectif (i. e. sa pente est plus raide hors bande passante). Au voisinage de la fréquence de coupure, le déphasage est plus perturbé que pour le filtre de Butterworth, ce qui peut être préjudiciable, notamment en transmission de données (distorsion de phase). Dans les cas où l'ondulation et le déphasage ne posent pas de problème, on retrouve assez couramment ce type de filtre.

Le filtre de Tchebychev de type 2 est le dual du filtre de Tchebychev de type 1. Il présente une évolution monotone en bande passante et des ondulations en bande atténuée. La courbe de réponse oscille entre une série de maximums, avec une valeur spécifiée par le constructeur du filtre, et une série de points où l'atténuation est totale : il s’agit des pôles. À cause de la présence des pôles à des fréquences finies, le filtre de Tchebychev de type 2 présente une configuration de base qui utilise, du point de vue de la réalisation analogique, des composants simples avec des circuits LC série ou parallèle. Toujours en analogique, la nécessité de régler les circuits LC précisément entraîne des complications de conception. Par contre, en numérique, il n'y a pas plus de difficulté de conception qu'avec le type 1, auquel il est alors souvent préféré (à cause de meilleures caractéristiques en bande passante).

• Distance de Tchebychev
• Polynôme de Tchebychev
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
• Biais de Tchebychev
• Mesure secondaire
• Fonction de compte des nombres premiers et Fonction de Tchebychev
• (2010) Tchebychev

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  • Universalis
• (ru) « Mécanismes de Tchebychev »
• Polynômes de Tchebychev sur Math-Linux.
• Aleksandr Vasil'evich Vasil'ev, P. L. Tchébychef et son œuvre scientifique, 1898 (lire en ligne)