Polynôme de Kazhdan-Lusztig

Au printemps 1978, Kazhdan et Lusztig étudient les représentations de Springer du groupe de Weyl d'un groupe algébrique sur les groupes de cohomologie ${\displaystyle \ell }$-adique associés aux classes de conjugaison unipotentes. Ils trouvent une nouvelle construction de ces représentations sur le corps des complexes (Kazhdan et Lusztig 1980a). La représentation admet deux bases naturelles et la matrice de transition entre ces deux bases est essentiellement donnée par les polynômes de Kazhdan-Lusztig. La construction réelle par Kazhdan et Lusztig de leurs polynômes est plus élémentaire. Kazhdan et Lusztig l'ont utilisé pour construire une base canonique dans l'algèbre de Hecke du groupe de Coxeter et ses représentations.

Dans leur premier article, Kazhdan et Lusztig mentionnent que leurs polynômes étaient liés au défaut de dualité de Poincaré locale pour les variétés de Schubert. Dans Kazhdan & Lusztig (1980b), ils réinterprètent cela en termes de la cohomologie d'intersection définie par Mark Goresky et Robert MacPherson, et donnent une autre définition d'une telle base en termes de dimensions de certains groupes de cohomologie d'intersection.

Les deux bases de la représentation de Springer ont rappelé à Kazhdan et Lusztig les deux bases du groupe de Grothendieck de certaines représentations de dimension infinie des algèbres de Lie semi-simple, données par les modules de Verma et les modules simples. Cette analogie, et les travaux de Jens Carsten Jantzen et Anthony Joseph reliant les idéaux primitifs des algèbres enveloppantes aux représentations des groupes de Weyl, ont conduit aux conjectures de Kazhdan-Lusztig.

Fixons un groupe de Coxeter W ayant pour système générateur S, et notons ${\displaystyle \ell (w)}$ la longueur d'un élément w (la plus petite longueur d'une expression pour w en tant que produit d'éléments de S). L'algèbre de Hecke de W a une base d'éléments ${\displaystyle T_{w}}$ pour ${\displaystyle w\in W}$ sur l'anneau ${\displaystyle \mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]}$, avec multiplication définie par

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{y}T_{w}&=T_{yw},&&{\mbox{if }}\ell (yw)=\ell (y)+\ell (w)\\(T_{s}+1)(T_{s}-q)&=0,&&{\mbox{if }}s\in S.\end{aligned}}}$

La deuxième relation quadratique implique que chaque générateur T_s est inversible dans l'algèbre de Hecke, l'inverse étant T_s⁻¹ = q⁻¹T_s + q⁻¹ − 1 . Ces inverses satisfont à la relation (T_s⁻¹ + 1)(T_s⁻¹ − q⁻¹) = 0 (obtenue en multipliant la relation quadratique pour T_s par −T_s⁻²q⁻¹), ainsi que la relation de tresse. Il en résulte que l'algèbre de Hecke a un automorphisme D qui envoie q ^1/2 sur q ^−1/2 et chaque T_s sur T_s⁻¹. Plus généralement, on a ${\displaystyle D(T_{w})=T_{w^{-1}}^{-1}}$ ; de plus, on voit que D est une involution.

Les polynômes de Kazhdan–Lusztig P_yw(q) sont indexés par une paire d'éléments y, w de W, et déterminés de manière unique par les propriétés suivantes.

• Ils valent 0 sauf si y ≤ w (dans l'ordre de Bruhat de W), 1 si y = w, et pour y < w leur degré est au plus (ℓ(w) − ℓ(y) − 1)/2.
• Les éléments

${\displaystyle C'_{w}=q^{-{\frac {\ell (w)}{2}}}\sum _{y\leq w}P_{y,w}T_{y}}$

sont invariants par l'involution D de l'algèbre de Hecke. Les éléments ${\displaystyle C'_{w}}$ forment une base de l'algèbre de Hecke en tant que ${\displaystyle \mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]}$-module, appelé la base de Kazhdan-Lusztig.

Pour établir l'existence des polynômes de Kazhdan-Lusztig, Kazhdan et Lusztig ont donné une procédure récursive simple pour calculer les polynômes P_yw(q) en termes de polynômes plus élémentaires notés R_yw(q), qui sont définis par

${\displaystyle T_{y^{-1}}^{-1}=\sum _{x}D(R_{x,y})q^{-\ell (x)}T_{x}.}$

Ces derniers polynômes peuvent être calculés en utilisant les relations de récurrence

${\displaystyle R_{x,y}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x\not \leq y\\1,&{\mbox{if }}x=y\\R_{sx,sy},&{\mbox{if }}sx<x{\mbox{ and }}sy<y\\R_{xs,ys},&{\mbox{if }}xs<x{\mbox{ and }}ys<y\\(q-1)R_{sx,y}+qR_{sx,sy},&{\mbox{if }}sx>x{\mbox{ and }}sy<y\end{cases}}}$

Les polynômes de Kazhdan-Lusztig peuvent alors être calculés de manière récursive en utilisant la relation

${\displaystyle q^{{\frac {1}{2}}(\ell (w)-\ell (x))}D(P_{x,w})-q^{{\frac {1}{2}}(\ell (x)-\ell (w))}P_{x,w}=\sum _{x<y\leq w}(-1)^{\ell (x)+\ell (y)}q^{{\frac {1}{2}}(-\ell (x)+2\ell (y)-\ell (w))}D(R_{x,y})P_{y,w}}$

en utilisant le fait que les deux termes de gauche sont des polynômes en q^1/2 et q^−1/2 sans termes constants. Ces formules sont fastidieuses à utiliser à la main pour un rang supérieur à 3 environ mais elles sont bien adaptées aux ordinateurs, et la seule limite au calcul des polynômes de Kazhdan-Lusztig avec elles est que pour un rang élevé, le nombre de ces polynômes dépasse la capacité de stockage des ordinateurs.

• Si y ≤ w alors P_y,w a un terme constant égal à 1.
• Si y ≤ w et ℓ(w) − ℓ(y) ∈ {0, 1, 2} alors P_y,w = 1.
• Si w = w ₀ est l'élément le plus long du groupe de Coxeter fini alors P_y,w = 1 pour tout y.
• Si W est le groupe de Coxeter de type A₁ ou A₂ (ou plus généralement n'importe quel groupe de Coxeter de rang au plus 2) alors P_y,w vaut 1 si y ≤ w et 0 sinon.
• Si W est le groupe de Coxeter de type A₃, avec pour générateurs S = {a, b, c} où a et c commutent, alors P_b,bacb = 1 + q et P_ac,acbca = 1 + q, ce qui donne des exemples de polynômes non constants.
• Les valeurs simples des polynômes de Kazhdan – Lusztig pour les groupes de petit rang ne sont pas typiques des groupes de rang élevé. Par exemple, pour la forme scindée de E₈, le polynôme de Lusztig-Vogan le plus compliqué (une variante des polynômes de Kazhdan-Lusztig, voir ci-dessous) est

${\displaystyle {\begin{aligned}152\,q^{22}&+3\,472\,q^{21}+38\,791\,q^{20}+293\,021\,q^{19}+1\,370\,892\,q^{18}+4\,067\,059\,q^{17}+7\,964\,012\,q^{16}\\&+11\,159\,003\,q^{15}+11\,808\,808\,q^{14}+9\,859\,915\,q^{13}+6\,778\,956\,q^{12}+3\,964\,369\,q^{11}+2\,015\,441\,q^{10}\\&+906\,567\,q^{9}+363\,611\,q^{8}+129\,820\,q^{7}+41\,239\,q^{6}+11\,426\,q^{5}+2\,677\,q^{4}+492\,q^{3}+61\,q^{2}+3\,q\end{aligned}}}$

• Polo (1999) démontre que n'importe quel polynôme ayant des coefficients entiers naturels et un terme constant égal à 1 est le polynôme de Kazhdan-Lusztig d'un certain couple d'éléments d'un groupe symétrique convenable.

Les polynômes de Kazhdan-Lusztig apparaissent comme des coefficients de transition entre la base canonique et la base standard de l'algèbre de Hecke. L'article dans Inventiones contient également deux conjectures équivalentes, connues maintenant sous le nom de conjectures de Kazhdan-Lusztig, qui relient les valeurs de leurs polynômes en 1 avec des représentations de groupes de Lie et d'algèbres de Lie semi-simples complexes, proposant ainsi une solution à un vieux problème en théorie des représentations.

Soit W un groupe de Weyl fini. Pour chaque w ∈ W, notons M_w le module de Verma de plus haut poids −w(ρ) − ρ, où ρ est la demi-somme des racines positives (ou vecteur de Weyl), et soit L_w son unique quotient irréductible, le module simple de plus haut poids −w(ρ) − ρ. Alors M_w et L_w sont tous deux des modules de poids localement finis sur l'algèbre de Lie complexe semi-simple g ayant pour groupe de Weyl W, de sorte qu'ils admettent un caractère algébrique. Notons ch( X ) le caractère d'un g-module X. Les conjectures de Kazhdan-Lusztig déclarent affirment :

${\displaystyle \operatorname {ch} (L_{w})=\sum _{y\leq w}(-1)^{\ell (w)-\ell (y)}P_{y,w}(1)\operatorname {ch} (M_{y}),}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (M_{w})=\sum _{y\leq w}P_{w_{0}w,w_{0}y}(1)\operatorname {ch} (L_{y}),}$

où w₀ est l'élément de longueur maximale du groupe de Weyl.

Ces conjectures ont été prouvées indépendamment sur des corps algébriquement clos de caractéristique zéro par Alexander Beilinson et Joseph Bernstein et indépendamment par Jean-Luc Brylinski et Masaki Kashiwara. Les méthodes introduites dans le cours de la preuve ont guidé le développement de la théorie des représentations tout au long des années 1980 et 1990, sous le nom de théorie des représentations géométrique.

Par la décomposition de Bruhat l'espace des drapeaux G/B du groupe algébrique G qui a pour groupe de Weyl W est une réunion disjointe d'espaces affines X_w paramétrée par les éléments w de W. Les fermetures de ces espaces X_w sont appelées variétés de Schubert, et Kazhdan et Lusztig, suivant une suggestion de Pierre Deligne, ont montré comment exprimer les polynômes de Kazhdan-Lusztig en termes des groupes de cohomologie d'intersection de variétés de Schubert.

Plus précisément, le polynôme de Kazhdan-Lusztig P_y,w(q) est égal à

${\displaystyle P_{y,w}(q)=\sum _{i}q^{i}\dim \mathrm {IH} _{X_{y}}^{2i}({\overline {X_{w}}}),}$

où chaque terme dans le membre de droite signifie : prendre le complexe IC des faisceaux dont l'hyperhomologie est l'homologie d'intersection de la variété de Schubert de w (la fermeture de la cellule X_w), prendre sa cohomologie de degré 2i, puis prendre la dimension de la fibre de ce faisceau en n'importe quel point de la cellule X_y dont la fermeture est la variété de Schubert de y. Les groupes de cohomologie de dimension impaire n'apparaissent pas dans la somme car ils sont tous nuls.

Cela a donné la première preuve que tous les coefficients des polynômes de Kazhdan-Lusztig pour les groupes de Weyl finis sont des entiers naturels.

Les polynômes de Lusztig-Vogan (également appelés polynômes de Kazhdan-Lusztig ou polynômes de Kazhdan–Lusztig–Vogan) ont été introduits dans Lusztig & Vogan (1983). Ils sont analogues aux polynômes de Kazhdan-Lusztig, mais sont adaptés aux représentations de groupes de Lie semi-simples réels et jouent un rôle majeur dans la description conjecturale de leur dual unitaire. Leur définition est plus compliquée, ce qui reflète la complexité relative des représentations des groupes réels par rapport aux groupes complexes.

La distinction, dans les cas directement liés à la théorie des représentations, s'explique au niveau des doubles classes ; ou, en d'autres termes, d'actions sur les analogues des variétés de drapeaux complexes G/B où G est un groupe de Lie complexe et B un sous-groupe de Borel. Le cas d'origine (KL) décrit alors les détails de la décomposition

${\displaystyle B\backslash G/B}$ ,

un thème classique de la décomposition de Bruhat, incarné pour le groupe linéaire dans la géométrie des cellules de Schubert dans une grassmannienne. Le cas LV part d'une forme réelle G_R de G, d'un sous-groupe compact maximal K_R dans ce groupe semi-simple G_R, et de la complexification K de K_R. Alors, l'objet d'étude pertinent est

${\displaystyle K\backslash G/B}$ .

En mars 2007, une équipe dirigée par Vogan a annoncé que les polynômes de Lusztig-Vogan avaient été calculés pour la forme scindée de E₈.

Le deuxième article de Kazhdan et Lusztig établit un cadre géométrique pour la définition des polynômes de Kazhdan-Lusztig, à savoir la géométrie des singularités des variétés de Schubert dans la variété des drapeaux. Une grande partie des travaux ultérieurs de Lusztig consiste à explorer des analogues des polynômes de Kazhdan-Lusztig dans le contexte d'autres variétés algébriques singulières naturelles apparaissant dans la théorie des représentations, en particulier les fermetures d'orbites nilpotentes et les variétés de carquois. Il s'est avéré que la théorie de la représentation des groupes quantiques, les algèbres de Lie modulaires et les algèbres de Hecke affines sont toutes étroitement contrôlées par des analogues appropriés des polynômes de Kazhdan-Lusztig. Ces analogues admettent une description élémentaire, mais leurs propriétés plus profondes nécessaires pour la théorie des représentations découlent de techniques sophistiquées de géométrie algébrique moderne et d'algèbre homologique, telles que l'utilisation de la cohomologie d'intersection, les faisceaux pervers et théorème de décomposition de Beilinson–Bernstein–Deligne.

On conjecture que les coefficients des polynômes de Kazhdan-Lusztig sont les dimensions de certains espaces d'homomorphismes dans la catégorie des bimodules de Soergel. C'est la seule interprétation positive connue de ces coefficients pour des groupes de Coxeter arbitraires.

Les propriétés combinatoires des polynômes de Kazhdan-Lusztig et leurs généralisations font l'objet de recherches actuelles actives. Compte tenu de leur importance dans la théorie des représentations et la géométrie algébrique, des tentatives ont été entreprises pour développer la théorie des polynômes de Kazhdan-Lusztig de manière purement combinatoire, en s'appuyant dans une certaine mesure sur la géométrie, mais sans référence à la cohomologie d'intersection et à d'autres techniques avancées. Cela a conduit à des développements passionnants en combinatoire algébrique, tels que le phénomène d'évitement de motifs. Certaines références sont données dans le manuel de Björner & Brenti (2005). Une monographie de niveau recherche sur le sujet est Billey & Lakshmibai (2000).

En 2005, on ne connaît aucune interprétation combinatoire de tous les coefficients des polynômes de Kazhdan-Lusztig (en tant que cardinaux de certains ensembles naturels), même dans le cas des groupes symétriques, bien qu'il existe des formules explicites dans de nombreux cas particuliers.

Kobayashi (2013) a démontré que les valeurs des polynômes de Kazhdan-Lusztig en ${\displaystyle q=1}$ pour les groupes de Coxeter cristallographiques satisfont une certaine inégalité stricte. Soit ${\displaystyle (W,S)}$ un système de Coxeter cristallographique et soient ${\displaystyle {P_{uw}(q)}}$ ses polynômes de Kazhdan-Lusztig. Si ${\displaystyle u<w}$ et ${\displaystyle P_{uw}(1)>1}$, alors il existe une réflexion ${\displaystyle t}$ tel que ${\displaystyle P_{uw}(1)>P_{tu,w}(1)>0}$ .

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kazhdan–Lusztig polynomial » (voir la liste des auteurs).
• Alexandre Beilinson et Joseph Bernstein, « Localisation de g-modules », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, Paris, série I Mathématique, vol. 292, n^o 1,‎ 1981, p. 15-18.
• Alexandre Beilinson et Joseph Bernstein, « A proof of the Jantzen conjectures », Advances in Soviet Mathematics, vol. 16, n^o 1,‎ 1993, p. 1-50.
• Sara Billey et V. Lakshmibai, Singular loci of Schubert varieties, vol. 182, Boston, MA, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics », 2000 (ISBN 0-8176-4092-4).
• Anders Björner et Francesco Brenti, Combinatorics of Coxeter Groups, vol. 231, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 2005 (ISBN 978-3-540-44238-7), « Ch. 5: Kazhdan–Lusztig and R-polynomials ».
• Francesco Brenti, « Kazhdan–Lusztig Polynomials: History, Problems, and Combinatorial Invariance », Séminaire Lotharingien de Combinatoire, Ellwangen, Haus Schönenberg, vol. 49,‎ 2003, Research article B49b (lire en ligne).
• Jean-Luc Brylinski et Masaki Kashiwara, « Kazhdan–Lusztig conjecture and holonomic systems », Inventiones Mathematicae, Springer-Verlag, vol. 64, n^o 3,‎ octobre 1981, p. 387-410 (ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01389272, Bibcode 1981InMat..64..387B, S2CID 18403883).
• Masaki Kashiwara, « The Kazhdan–Lusztig conjecture for symmetrizable KacMoody algebras », dans The Grothendieck Festschrift, II, vol. 87, Boston, Birkhauser, coll. « Progress in Mathematics », 1990, 407-433 p. (MR 1106905).
• David Kazhdan et George Lusztig, « Representations of Coxeter groups and Hecke algebras », Inventiones Mathematicae, Springer-Verlag, vol. 53, n^o 2,‎ juin 1979, p. 165-184 (ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01390031, Bibcode 1979InMat..53..165K, S2CID 120098142).
• David Kazhdan et George Lusztig, « A topological approach to Springer's representations », Advances in Mathematics, vol. 38, n^o 2,‎ 1980a, p. 222-228 (DOI 10.1016/0001-8708(80)90005-5 ).
• David Kazhdan et George Lusztig, « Schubert varieties and Poincaré duality », dans Geometry of the Laplace Operator, vol. XXXVI, American Mathematical Society, coll. « Proceedings of Symposia in Pure Mathematics », 1980b, 185-203 p. (ISBN 9780821814390, DOI 10.1090/pspum/036/573434).
• George Lusztig et David Vogan, « Singularities of closures of K-orbits on flag manifolds. », Inventiones Mathematicae, Springer-Verlag, vol. 71, n^o 2,‎ 1983, p. 365-379 (ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01389103, Bibcode 1983InMat..71..365L, S2CID 120917588).
• Patrick Polo, « Construction of arbitrary Kazhdan–Lusztig polynomials in symmetric groups », Representation Theory, vol. 3, n^o 4,‎ 1999, p. 90-104 (ISSN 1088-4165, DOI 10.1090/S1088-4165-99-00074-6, MR 1698201).
• Wolfgang Soergel, « Kazhdan–Lusztig polynomials and indecomposable bimodules over polynomial rings », Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu, vol. 6, n^o 3,‎ 2006, p. 501-525 (DOI 10.1017/S1474748007000023, arXiv math/0403496, S2CID 120459494).
• Masato Kobayashi, « Inequalities on Bruhat graphs, R- and Kazhdan-Lusztig polynomials », Journal of Combinatorial Theory, Series A, vol. 120, n^o 2,‎ 2013, p. 470-482 (DOI 10.1016/j.jcta.2012.10.001 , S2CID 205929043).

• Notes du cours du printemps 2005 sur la théorie de Kazhdan-Lusztig à UC Davis par Monica Vazirani.
• Mark Goreski, « Tables of Kazhdan-Lusztig polynomials », sur Institute for Advanced Study, juillet 1996 (consulté le 28 février 2023)
• Les programmes GAP pour le calcul des polynômes de Kazhdan-Lusztig.
• Logiciel Coxeter de Fokko du Cloux pour le calcul des polynômes de Kazhdan-Lusztig pour tout groupe de Coxeter.
• Logiciel Atlas pour le calcul des polynômes de Kazhdan-Lusztig-Vogan.