Unipotent

Pour n entier naturel, soit ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ le groupe des matrices triangulaires supérieures avec des ${\displaystyle 1}$ sur la diagonale, c'est-à-dire le groupe[1]

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\right\}.}$

Alors, un groupe unipotent peut être défini comme étant un groupe isomorphe à un sous-groupe d'un certain ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$. En utilisant la théorie des schémas, le groupe ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ peut être défini comme le schéma en groupes

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \!\left[x_{11},x_{12},\ldots ,x_{nn},{\frac {1}{\text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)}$

et un schéma en groupes affine est unipotent si c'est un sous-schéma en groupes fermé de ce schéma.

Un élément x d'un groupe algébrique affine est unipotent si l'opérateur de translation à droite associé, r_x, sur l'anneau de coordonnées affines A[G] de G est localement unipotent en tant qu'élément de l'anneau des endomorphismes linéaires de A[G]. (Ici, « localement unipotent » signifie que la restriction à tout sous-espace stable de dimension finie de A[G] est unipotente au sens habituel de la théorie des anneaux.)

Un groupe algébrique affine est dit unipotent si tous ses éléments sont unipotents. Tout groupe algébrique unipotent est isomorphe à un sous-groupe fermé du groupe des matrices triangulaires supérieures dont les coefficients diagonaux valent 1, et inversement tout tel sous-groupe est unipotent. En particulier tout groupe unipotent est un groupe nilpotent, bien que l'inverse ne soit pas vrai (contre-exemple : le groupe des matrices diagonales de GL _n(k) est nilpotent puisqu'il est abélien mais il n'est pas unipotent).

Par exemple, la représentation standard de ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ sur ${\displaystyle k^{n}}$ avec base standard ${\displaystyle (e_{i})_{1\leq i\leq n}}$ admet pour vecteur fixe ${\displaystyle e_{1}}$.

Si un groupe unipotent agit sur une variété affine, toutes ses orbites sont fermées, et s'il agit linéairement sur un espace vectoriel de dimension finie, alors il admet un vecteur fixe non nul. En fait, cette dernière propriété caractérise les groupes unipotents[1]. En particulier, cela implique qu'il n'y a pas de représentations semi-simples non triviales.

Bien sûr, le groupe de matrices ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ est unipotent. En utilisant la série centrale descendante

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e,}$

où

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}]}$ et ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}^{(1)}],}$

on voit apparaître des groupes unipotents. Par exemple, pour ${\displaystyle n=4}$, les séries centrales sont les groupes matriciels

${\displaystyle \mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$, ${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(1)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&0&*\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$, ${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(2)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&*\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$, et ${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(3)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\},}$

ce qui donne quelques exemples de groupes unipotents.

On voit que le groupe additif ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ est un groupe unipotent grâce à l'injection

${\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Remarquons que la multiplication matricielle donne

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&a+b\\0&1\end{bmatrix}},}$

de sorte qu'il s'agit bien d'un morphisme de groupes (injectif). Plus généralement, on obtient un morphisme injectif ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}^{n}\to \mathbb {U} _{n+1}}$ grâce à l'application suivante :

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\,\mapsto {\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}.}$

En termes de théorie des schémas, ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ est donnée par le foncteur

${\displaystyle {\mathcal {O}}:{\textbf {Sch}}^{op}\to {\textbf {Sets}}}$

défini par

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X).}$

Partant du foncteur ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ sur la sous-catégorie ${\displaystyle {\textbf {Sch}}/\mathbb {F} _{p}}$, on a le sous-foncteur ${\displaystyle \alpha _{p}}$ défini par

${\displaystyle \alpha _{p}(X)=\{x\in {\mathcal {O}}(X):x^{p}=0\}}$.

Il permet de définir un groupe unipotent, le noyau de l'endomorphisme de Frobenius.

Les groupes unipotents sur un corps algébriquement clos de n'importe quelle dimension donnée peuvent en principe être classés, mais en pratique la complexité de la classification augmente très rapidement avec la dimension, de sorte que les gens ont tendance à abandonner quelque part autour de la dimension 6.

En caractéristique 0, il existe un joli théorème de décomposition d'un groupe algébrique ${\displaystyle G}$ reliant sa structure à la structure d'un groupe algébrique linéaire et d'une variété abélienne. Il y a une suite exacte courte de groupes[3]

${\displaystyle 0\to M\times U\to G\to A\to 0}$

où ${\displaystyle A}$ est une variété abélienne, ${\displaystyle M}$ est de type multiplicatif (c'est-à-dire que ${\displaystyle M}$ est, géométriquement, un produit de tores et de groupes algébriques de la forme ${\displaystyle \mu _{n}}$) et ${\displaystyle U}$ est un groupe unipotent.

Lorsque la caractéristique du corps de base est p, on peut formuler une description analogue[3] pour un groupe algébrique ${\displaystyle G}$ : il existe un sous-groupe minimal ${\displaystyle H}$ tel que

1. ${\displaystyle G/H}$ est un groupe unipotent ;
2. ${\displaystyle H}$ est une extension d'une variété abélienne ${\displaystyle A}$ par un groupe ${\displaystyle M}$ de type multiplicatif ;
3. ${\displaystyle M}$ est unique à commensurabilité près dans ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle A}$ est unique à isogénie près.