Formule des caractères de Weyl

Soit ${\displaystyle \pi }$ une représentation irréductible de dimension finie d'une algèbre de Lie semi-simple complexe ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Soit ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ une sous-algèbre de Cartan de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Le caractère de ${\displaystyle \pi }$ est alors la fonction ${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }:{\mathfrak {h}}\rightarrow \mathbb {C} }$ défini par

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\operatorname {tr} (e^{\pi (H)}).}$

La valeur du caractère en ${\displaystyle H=0}$ est la dimension de ${\displaystyle \pi }$. Par des considérations élémentaires, on voit que le caractère peut être calculé comme

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\sum _{\mu }m_{\mu }e^{\mu (H)},}$

où la somme porte sur tous les poids ${\displaystyle \mu }$ de ${\displaystyle \pi }$ et où ${\displaystyle m_{\mu }}$ est la multiplicité de ${\displaystyle \mu }$, c'est-à-dire la dimension de l'espace de poids correspondant. (L'expression précédente est parfois considérée comme la définition du caractère.)

La formule des caractères exprime[5] que ${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)}$ peut aussi être calculé comme

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}}}$

où

• ${\displaystyle W}$ est le groupe de Weyl ;
• ${\displaystyle \Delta ^{+}}$ est l'ensemble des racines positives du système de racines ${\displaystyle \Delta }$ ;
• ${\displaystyle \rho }$ est la demi-somme des racines positives, souvent appelée vecteur de Weyl ;
• ${\displaystyle \lambda }$ est le plus haut poids de la représentation irréductible ${\displaystyle V}$ ;
• ${\displaystyle \varepsilon (w)}$ est le déterminant de l'action de ${\displaystyle w}$ sur la sous-algèbre de Cartan ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ; il est égal à ${\displaystyle (-1)^{\ell (w)}}$, où ${\displaystyle \ell (w)}$ est la longueur de l'élément du groupe de Weyl, définie comme étant le nombre minimal de réflexions par rapport aux racines simples telles que ${\displaystyle w}$ est égal au produit de ces réflexions.

En utilisant la formule du dénominateur de Weyl (décrite ci-dessous), la formule des caractères peut être réécrite comme

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}}$ ,

ou, ce qui revient au même,

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H){\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}=\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}.}$

Le caractère est lui-même une grande somme d'exponentielles. Dans cette dernière expression, on multiplie ensuite le caractère par une somme alternée d'exponentielles, ce qui se traduit apparemment par une somme encore plus grande d'exponentielles. La partie surprenante de la formule des caractères est qu'en calculant ce produit, il ne reste en fait qu'un petit nombre de termes. Beaucoup plus de termes que cela apparaissent au moins une fois dans le produit du caractère et du dénominateur de Weyl, mais la plupart de ces termes s'éliminent[3]. Les seuls termes qui restent sont les termes qui n'apparaissent qu'une seule fois, à savoir ${\displaystyle e^{(\lambda +\rho )(H)}}$ (qui est obtenu en prenant le plus haut poids de ${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }}$ et le plus haut poids du dénominateur de Weyl) et des termes provenant de l'orbite du groupe de Weyl de ${\displaystyle e^{(\lambda +\rho )(H)}}$.

Soit ${\displaystyle K}$ un groupe de Lie compact connexe et soit ${\displaystyle T}$ un tore maximal dans ${\displaystyle K}$. Soit ${\displaystyle \Pi }$ une représentation irréductible de ${\displaystyle K}$. On définit alors le caractère de ${\displaystyle \Pi }$ comme la fonction

${\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K.}$

On montre facilement que le caractère est une fonction de classe sur ${\displaystyle K}$ et le théorème de Peter-Weyl affirme que les caractères forment une base orthonormée pour l'espace des fonctions de classe de carré intégrables sur ${\displaystyle K}$[6].

Comme ${\displaystyle \mathrm {X} }$ est une fonction de classe, elle est déterminée par sa restriction à ${\displaystyle T}$. Maintenant, pour ${\displaystyle H}$ dans l'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ de ${\displaystyle T}$, on a

${\displaystyle \operatorname {tr} (\Pi (e^{H}))=\operatorname {tr} (e^{\pi (H)})}$ ,

où ${\displaystyle \pi }$ est la représentation associée de l'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ de ${\displaystyle K}$. Ainsi, la fonction ${\displaystyle H\mapsto \operatorname {tr} (\Pi (e^{H}))}$ est simplement le caractère de la représentation associée ${\displaystyle \pi }$ de ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$, comme dans la sous-section précédente. La restriction du caractère de ${\displaystyle \Pi }$ à ${\displaystyle T}$ est alors donnée par la même formule que dans le cas de l'algèbre de Lie :

${\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}.}$

La démonstration de Weyl de la formule des caractères dans le cadre des groupes compacts est complètement différente de la démonstration algébrique de la formule des caractères dans le cadre des algèbres de Lie semi-simples[7]. Dans le cadre des groupes compacts, il est courant d'utiliser des « racines réelles » et des « poids réels », qui diffèrent par un facteur ${\displaystyle i}$ des racines et des poids utilisés ici. Ainsi, la formule dans le cadre du groupe compact a tout le long des facteurs de ${\displaystyle i}$ dans les exposants.

Dans le cas du groupe SU(2), considérons la représentation irréductible de dimension ${\displaystyle m+1}$. Si on choisit pour ${\displaystyle T}$ le sous-groupe diagonal de SU(2), la formule de caractère se lit[8] :

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}$

(Le numérateur et le dénominateur dans la formule de caractères ont chacun deux termes.) Il est instructif de vérifier directement cette formule dans ce cas, afin de pouvoir observer le phénomène d'annulation implicite dans la formule des caractères de Weyl.

Puisque les représentations sont connues très explicitement, le caractère de la représentation peut être écrit comme

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}$

Le dénominateur de Weyl, quant à lui, est simplement la fonction ${\displaystyle e^{i\theta }-e^{-i\theta }}$. En multipliant le caractère par le dénominateur de Weyl, on obtient

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=\left(e^{i(m+1)\theta }+e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }\right)-\left(e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }+e^{-i(m+1)\theta }\right),}$

On peut à présent vérifier facilement que la plupart des termes s'annulent entre les deux termes du côté droit ci-dessus, et qu'il reste seulement

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}$

de sorte que

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}$

Le caractère est dans ce cas une série géométrique de raison ${\displaystyle R=e^{2i\theta }}$ et l'argument précédent est une légère variante de la méthode habituelle pour calculer la somme d'une suite géométrique finie.