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Fonction de partition de Kostant

En théorie des représentations, un domaine des mathématiques, la fonction de partition de Kostant, introduite par Bertram Kostant[1] - [2], d'un systÚme de racines , est le nombre de façons dont on peut représenter un vecteur (poids) comme combinaison linéaire à coefficients naturels des racines positives . Kostant l'a utilisée pour réécrire la formule des caractÚres de Weyl comme une formule, appelée formule de multiplicité de Kostant, donnant la multiplicité d'un poids d'une représentation irréductible d'une algÚbre de Lie semi-simple. On dispose d'une autre formule, plus efficace en termes de calcul dans certains cas, appelée formule de Freudenthal.

La fonction de partition de Kostant peut Ă©galement ĂȘtre dĂ©finie pour les algĂšbres de Kac-Moody et a des propriĂ©tĂ©s similaires.

Un exemple

La fonction de partition de Kostant pour le systĂšme racine A2

ConsidĂ©rons le systĂšme de racines de type A2, dont on note , et les racines positives. Si un Ă©lĂ©ment peut ĂȘtre exprimĂ© comme une combinaison linĂ©aire Ă  coefficients entiers naturels de , , et , alors, vu que , il peut Ă©galement ĂȘtre exprimĂ© comme une combinaison linĂ©aire entiĂšre positive de et :

avec et Ă©tant des entiers naturels. Cette expression donne une façon d'Ă©crire comme une combinaison entiĂšre Ă  coefficients entiers naturels de racines positives ; d'autres expressions peuvent ĂȘtre obtenues en remplaçant par un certain nombre de fois. On peut faire cette substitution fois, oĂč . Ainsi, en notant la fonction de partition de Kostant, on obtient la formule

.

Ce résultat est représenté graphiquement sur l'image ci-contre. Bien sûr, si un élément n'est pas de la forme , alors .

Lien avec la formule des caractĂšres de Weyl

Inversion du dénominateur de Weyl

Pour chaque racine et chaque , on peut appliquer formellement la formule de la somme d'une série géométrique pour obtenir

oĂč l'on ne se soucie pas de la convergence, c'est-Ă -dire que l'Ă©galitĂ© est comprise au niveau des sĂ©ries de puissances formelles. En utilisant la formule du dĂ©nominateur de Weyl

on obtient une expression formelle de l'inverse du dénominateur de Weyl[3] :

Ici, la premiÚre égalité consiste à prendre le produit sur toutes les racines positives de la formule de la série géométrique et la seconde égalité consiste à compter toutes les façons dont une exponentielle donnée peut apparaßtre dans le produit.

RĂ©Ă©criture de la formule des caractĂšres

Cet argument montre que l'on peut réécrire la formule des caractÚres de Weyl pour la représentation irréductible de plus haut poids

et la transformer de quotient en produit :

La formule de multiplicité

En utilisant la réécriture précédente de la formule des caractÚres, il est relativement facile d'écrire le caractÚre comme une somme d'exponentielles. Les coefficients de ces exponentielles sont les multiplicités des poids correspondants. On obtient ainsi une formule pour la multiplicité d'un poids donné dans la représentation irréductible de plus haut poids [4] :

.

Ce résultat est la formule de multiplicité de Kostant.

Le terme dominant dans cette formule est le terme correspondant à ; la contribution de ce terme est , qui est juste la multiplicité de dans le module de Verma de plus haut poids . Si est suffisamment loin des murs à l'intérieur de la chambre fondamentale de Weyl et si est suffisamment proche de , il peut arriver que tous les autres termes de la formule soient nuls. Plus précisément, à moins que ne soit plus grand que , la valeur de la fonction de partition de Kostant en est nulle. Ainsi, bien que la somme porte initialement sur tout le groupe de Weyl, dans la plupart des cas, le nombre de termes non nuls est inférieur à l'ordre du groupe de Weyl.

Notes et références

  1. Kostant 1958.
  2. Kostant 1959.
  3. Hall 2015, Proposition 10.27.
  4. Hall 2015, Theorem 10.29.
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