Opérateur de Casimir

Soit ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ une algèbre de Lie, ${\displaystyle \mathrm {B} (~,~)}$ une forme bilinéaire non-dégénérée invariante associée à l'algèbre. L'invariance de ${\displaystyle \mathrm {B} (~,~)}$ est l'invariance par la représentation adjointe ${\displaystyle \ ad_{X}(Y)=[X,Y]}$

${\displaystyle \forall X,Y,Z\in {\mathfrak {g}}\,,}$ ${\displaystyle \mathrm {B} \left(ad_{X}(Y),Z\right)=-\mathrm {B} \left(Y,ad_{X}(Z)\right)}$

ou encore

${\displaystyle \forall X,Y,Z\in {\mathfrak {g}}\,,}$ ${\displaystyle \mathrm {B} \left(\left[X,Y\right],Z\right)=-\mathrm {B} \left(Y,\left[X,Z\right]\right)}$

Dans le cas d'une algèbre de Lie associée à un groupe de Lie connexe ${\displaystyle G}$, on démontre (par différentiation) que cette invariance est équivalente à l'invariance par l'action ${\displaystyle \ Ad_{g}(X)=g.X.g^{-1}}$ du groupe sur son algèbre :

${\displaystyle \forall g\in G,\forall Y,Z\in {\mathfrak {g}}\,,}$ ${\displaystyle \mathrm {B} \left(Ad_{g}(Y),Ad_{g}(Z)\right)=\mathrm {B} \left(Y,Z\right)}$

Exemples

• Sur une algèbre de Lie semi-simple, une forme utilisable est la forme de Killing.
• Sur l'algèbre de Lie associée à un groupe de Lie compact ${\displaystyle G}$, il existe une forme bilinéaire non-dégénérée et invariante construite à l'aide de la mesure de Haar ${\displaystyle \ \mu }$ du groupe : en utilisant un produit scalaire ${\displaystyle (~|~)_{0}}$ non-trivial sur ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, le produit scalaire suivant convient ${\displaystyle \left(X|Y\right)=\int _{G}\left(g.X.g^{-1}|g.Y.g^{-1}\right)_{0}.\mu (dg)}$
• Sur une sous-algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ de ${\displaystyle \mathbb {M} (n,\mathbb {R} )}$ telle que ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}\Rightarrow X^{T}\in {\mathfrak {g}}}$, où ${\displaystyle \ X^{T}}$ est la matrice adjointe, on peut prendre ${\displaystyle B\left(X,Y\right)=tr\left(XY\right)}$.

Soit ${\displaystyle \ (\rho ,V)}$ une représentation de l'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$: ${\displaystyle \rho$ :{\mathfrak {g}}\to GL(V)} .

Première définition : Soit ${\displaystyle \ \{X_{i}/i=1,...,n\}}$ une base de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, et on note ${\displaystyle \ \{X^{i}/i=1,...,n\}}$ la base duale : ${\displaystyle \ \mathrm {B} (X^{i},X_{j})=\delta _{i,j}}$.

L'opérateur de Casimir est défini par :

Une deuxième définition, qui n'utilise pas explicitement de la base duale tout en l'introduisant sans le dire, est :

en posant ${\displaystyle \ g_{ij}=B(X_{i},X_{j})}$, et ${\displaystyle \left(g^{ij}\right)=\left(g_{ij}\right)^{-1}}$ la matrice inverse, l'opérateur de Casimir est défini par :

Une troisième définition introduit d'abord l'opérateur de Casimir ${\displaystyle \ \Omega }$ de l'algèbre enveloppante de l'algèbre de Lie, permettant ensuite d'introduire l'opérateur ${\displaystyle \Omega _{\rho }}$ associé à la représentation ${\displaystyle \ (\rho ,V)}$.

Dans ce cas, l'opérateur de Casimir est défini par :

et on retrouve l'opérateur associé à la représentation ${\displaystyle \ (\rho ,V)}$ en prenant ${\displaystyle \Omega _{\rho }=\rho \left(\Omega \right)}$.

• Indépendance vis-à-vis de la base utilisée : si ${\displaystyle \ \{Y_{i}/i=1,...,n\}}$ est une autre base de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, alors ${\displaystyle \Omega _{\rho }=\sum _{i=1}^{n}\rho \left(X^{i}\right)\rho \left(X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\rho \left(Y^{i}\right)\rho \left(Y_{i}\right)}$, ce que l'on montre en utilisant la matrice de changement de base.
• Commutation avec la représentation : on sait que par définition ${\displaystyle \rho$ :{\mathfrak {g}}\to L_{\mathbb {C} }(V)} est un morphisme d'algèbres de Lie, et que ${\displaystyle \Omega _{\rho }=\sum _{i=1}^{n}\rho \left(X^{i}\right)\rho \left(X_{i}\right)\in L_{\mathbb {C} }(V)}$. Quelques calculs algébriques montrent que ${\displaystyle \forall X\in {\mathfrak {g}}\,,}$ ${\displaystyle \left[\Omega _{\rho },\rho (X)\right]=0}$
• Si ${\displaystyle \ (\rho ,V)}$ est une représentation ${\displaystyle \mathbb {C} }$-linéaire et irréductible de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, alors le lemme de Schur permet de conclure qu'il existe ${\displaystyle \kappa _{\rho }\in \mathbb {C} }$ tel que ${\displaystyle \ \Omega _{\rho }=-\kappa _{\rho }\cdot {\text{Id}}}$. Ce nombre ${\displaystyle \ \kappa _{\rho }}$ est, en physique, le nombre quantique associé à l'opérateur de Casimir agissant sur la fonction d'onde.

• Les opérateurs de Casimir du groupe de Lorentz permettent de dégager deux nombres quantiques : la masse et le spin. Il y a une infinité de valeurs pour le spin, et chacune vient d'une représentation irréductible.
• L'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$, algèbre du groupe ${\displaystyle \ SU(3)}$, permet de dégager les nombres quantiques isospin, étrangeté et charge électrique.

• Jacques Faraut, Analyse sur les groupes de Lie : une introduction, éditions Calvage & Mounet, 2006 (ISBN 978-2-916352-00-8)
• Yvette Kosmann-Schwarzbach, Groupes et symétries : groupes finis, groupes et algèbres de Lie, représentations, éditions de l'école polytechnique, 2005 (ISBN 978-2-7302-1257-1), [lire en ligne]
• Luc Marleau, Introduction à la physique des particules, cours en ligne de l'université Laval.