Matrice de Vandermonde

On considère une matrice V de Vandermonde carrée (${\displaystyle m=n}$). Elle est inversible si et seulement si les ${\displaystyle \alpha _{i}}$ sont deux à deux distincts.

Démonstration

Si deux coefficients ${\displaystyle \alpha _{i}}$ sont identiques, la matrice a deux lignes identiques, donc n'est pas inversible.

Pour la réciproque, on peut procéder au calcul du déterminant, ce qui sera fait dans la prochaine section. Une preuve d'inversibilité plus rapide est cependant de considérer V comme la matrice du système linéaire homogène VX = 0 pour X de composantes x₀, …, x_n-1 :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{0}+\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{1}^{2}x_{2}+&\dots +\alpha _{1}^{n-1}x_{n-1}=0\\&\vdots \\x_{0}+\alpha _{n}x_{1}+\alpha _{n}^{2}x_{2}+&\dots +\alpha _{n}^{n-1}x_{n-1}=0\end{cases}}}$

En introduisant le polynôme

${\displaystyle P(Y)=\sum _{i=0}^{n-1}x_{i}Y^{i}}$,

on voit que si X vérifie l'équation VX = 0, alors P admet n racines distinctes, soit plus que son degré ; donc P est nul, et ainsi X = 0, ce qui prouve que V est inversible.

Le déterminant d'une matrice ${\displaystyle n\times n}$ de Vandermonde (${\displaystyle m=n}$ dans ce cas) peut s'exprimer ainsi[2] :

${\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})}$.

La matrice de Vandermonde et le calcul de son déterminant sont utilisés en interpolation polynomiale[4].

Un cas particulier de matrice de Vandermonde apparaît dans la formule de la transformée de Fourier discrète, où les coefficients (α_i) sont les racines complexes de l'unité.