Triple produit de Jacobi

Ceci peut être vu comme une relation faisant intervenir les fonctions thêta. Prenons ${\displaystyle x=\exp(\mathrm {i} \pi \tau )}$ et ${\displaystyle z=\exp(2\mathrm {i} \pi s)}$ ; le membre de droite est alors la fonction thêta :

${\displaystyle \vartheta (s;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\mathrm {i} \pi n^{2}\tau +2\mathrm {i} \pi ns)}$.

Le triple produit de Jacobi revêt une forme très compacte sous forme de q-séries : en posant ${\displaystyle q=x^{2}}$ et ${\displaystyle c=x^{-1}z}$, il se réécrit

${\displaystyle (q;q)_{\infty }\;(-cq;q)_{\infty }\;(-1/c;q)_{\infty }=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c^{n}q^{n(n+1)/2}\quad (J_{1})}$

ou encore

${\displaystyle (q;q)_{\infty }\;(-cq;q)_{\infty }\;(-q/c;q)_{\infty }=\sum _{n\in \mathbb {N} }(1-c+c^{2}-\dots +c^{2n})c^{-n}q^{n(n+1)/2}\quad (J_{2})}$,

où les ${\displaystyle (a;q)_{\infty }}$ sont des q-symboles de Pochhammer : ${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k\in \mathbb {N} }(1-aq^{k})}$.

Il prend également une forme particulièrement élégante lorsqu'il est exprimé avec la fonction thêta de Ramanujan (en) (en posant q = ab et c = 1/b) : pour ${\displaystyle |ab|<1}$,

${\displaystyle (ab;ab)_{\infty }\;(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a^{n(n+1)/2}b^{n(n-1)/2}}$.

Le théorème des nombres pentagonaux d'Euler se déduit du triple produit de Jacobi en prenant ${\displaystyle q=X^{3}}$ et ${\displaystyle c=-1/X}$ dans ${\displaystyle (J_{1})}$. On obtient alors l'expression de la fonction d'Euler[6] - [7] :

${\displaystyle \phi (X):=(X;X)_{\infty }=(X^{3};X^{3})_{\infty }(X^{2};X^{3})_{\infty }(X;X^{3})_{\infty }=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}X^{n(3n+1)/2}}$.

En prenant ${\displaystyle c=\pm 1}$ dans ${\displaystyle (J_{2})}$, on obtient :

${\displaystyle \prod _{k\in \mathbb {N} ^{*}}(1-X^{k})^{3}=\sum _{n\in \mathbb {N} }(-1)^{n}(2n+1)X^{n(n+1)/2}\quad {\text{et}}\quad \sum _{n\in \mathbb {N} }X^{n(n+1)/2}=\prod _{k\in \mathbb {N} ^{*}}(1-X^{2k})(1+X^{k})=\prod _{k\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {1-X^{2k}}{1-X^{2k-1}}}}$.

On peut se servir du triple produit de Jacobi pour démontrer l'identité du produit quintuple[8] :

${\displaystyle \prod _{m\in \mathbb {N} ^{*}}(1-x^{m})(1-x^{m}z)(1-x^{m-1}z^{-1})(1-x^{2m-1}z^{2})(1-x^{2m-1}z^{-2})=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{n(3n+1)/2}(z^{3n}-z^{-3n-1})}$.

• Fonction êta de Dedekind
• Identité du produit quintuple
• Identités de Macdonald (en)
• Identités de Rogers-Ramanujan