Correspondance de Springer

La correspondance de Springer comporte un paramètre supplémentaire qui est une représentations d'un groupe fini ${\displaystyle A(u)}$ canoniquement déterminé par la classe de conjugaison unipotente. A chaque couple ${\displaystyle (u,\phi )}$ composé d'un élément unipotent ${\displaystyle u}$ de ${\displaystyle G}$ et d'une représentation irréductible ${\displaystyle \phi }$ du groupe ${\displaystyle A(u)}$, on peut associer soit une représentation irréductible du groupe de Weyl, soit 0. L'association

${\displaystyle (u,\phi )\mapsto E_{u,\phi }}$

avec ${\displaystyle u\in U(G),\phi \in {\widehat {A(u)}},E_{u,\phi }\in {\widehat {W}}}$ ne dépend que de la classe de conjugaison de ${\displaystyle u}$ et engendre une correspondance entre les représentations irréductibles du groupe de Weyl et les couples ${\displaystyle (u,\phi )}$ modulo la conjugaison ; cette correspondance est appelée la correspondance de Springer. Chaque représentation irréductible de ${\displaystyle W}$ apparaît exactement une fois dans cette correspondance, même si ${\displaystyle \phi }$ peut être une représentation non triviale. La correspondance de Springer, avec ses généralisations dues à Lusztig, joue un rôle clé dans la classification de Lusztig des représentations irréductibles des groupes de type Lie finis.

La construction originale de Tonny Albert Springer de 1976 procède en définissant une action de W sur les groupes de cohomologie l-adiques de dimension supérieure de la variété algébrique B_u des sous- groupes boréliens de G contenant un élément unipotent donné u d'un groupe algébrique semi-simple G sur un corps fini. Cette construction a été généralisée par Lusztig (1981) qui a également éliminé certaines hypothèses techniques. Springer a donné plus tard une construction différente (Springer (1978)), utilisant la cohomologie ordinaire avec des coefficients rationnels et des groupes algébriques complexes.

Kazhdan et Lusztig (1980) ont donné une construction topologique des représentations de Springer en utilisant la variété de Steinberg et ont découvert les polynômes de Kazhdan-Lusztig dans leur processus de développement. La correspondance de Springer généralisée a été étudiée par Lusztig et Spaltenstein (1985) et par Lusztig (1981) dans ses travaux sur les faisceaux de caractères. Borho et MacPherson (1983) ont donné encore une autre construction de la correspondance de Springer.

Pour le groupe linéaire spécial ${\displaystyle SL_{n}}$, les classes de conjugaison unipotentes sont paramétrées par des partitions de ${\displaystyle n}$ : si ${\displaystyle u}$ est un élément unipotent, la partition correspondante est donnée par les tailles des blocs de Jordan de ${\displaystyle u}$. Les groupes '${\displaystyle A(u)}$ sont tous triviaux.

Le groupe de Weyl ${\displaystyle W}$ est le groupe symétrique ${\displaystyle S_{n}}$ sur ${\displaystyle n}$ lettres. Ses représentations irréductibles sur un corps de caractéristique nulle sont également paramétrées par les partitions de ${\displaystyle n}$. La correspondance de Springer est une bijection dans ce cas , et elle est donnée, dans les paramétrisations standard, par transposition des partitions (de sorte que la représentation triviale du groupe de Weyl correspond à la classe unipotente régulière, et la représentation en signe correspond à l'élément d'identité de ${\displaystyle G}$).

La correspondance de Springer s'est avérée étroitement liée à la classification des idéaux primitifs dans l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie semi-simple complexe, à la fois comme principe général et comme outil technique. De nombreux résultats dans cette direction sont dus à Anthony Joseph. Une approche géométrique a été développée par Borho, Brylinski et MacPherson (1987).

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Travaux de Springer

• 1976 — Tonny A. Springer, « Trigonometric sums, Green functions of finite groups and representations of Weyl groups », Invent. Math., vol. 36,‎ 1976, p. 173–207 (DOI 10.1007/BF01390009, MR 0442103)
• 1978 — Tonny A. Springer, « A construction of representations of Weyl groups », Invent. Math., vol. 44,‎ 1978, p. 279–293 (DOI 10.1007/BF0140316)
• 1982 — Tonny A. Springer, « Quelques applications de la cohomologie d'intersection », Séminaire Bourbaki 34^e annee, Vol. 1981/82, exposé 589, Astérisque, vol. 92–93,‎ 1982, p. 249-273
• 1977 — Tonny A. Springer, « Représentations de groupes de Weyl et éléments nilpotents d'algèbres de Lie », Séminaire d'Algèbre Paul Dubreil, 29^e année (Paris, 1975–1976), Lecture Notes in Math., Springer, vol. 586,‎ 1977, p. 86–92 (MR 0573081)

Travaux ultérieurs

• 1987 — Walter Borho, Jean-Luc Brylinski et Robert MacPherson, « Springer's Weyl group representations through characteristic classes of cone bundles », Mathematische Annalen, vol. 278, n^os 1–4,‎ 1987, p. 273–289 (DOI 10.1007/BF01458071).
• 1989 — Walter Borho, Jean-Luc Brylinski et Robert MacPherson, Nilpotent orbits, primitive ideals, and characteristic classes : A geometric perspective in ring theory, Boston, 8. Birkhäuser Boston, coll. « Progress in Mathematics » (n^o 78), 1989 (ISBN 0-8176-3473-8).
• 1983 — Walter Borho et Robert MacPherson, « Partial resolutions of nilpotent varieties », Astérisque, Soc. Math. France, vol. 101-102 « Analysis and topology on singular spaces(Luminy, 1981) »,‎ 1983, p. 23–74.
• 1980 — David Kazhdan et George Lusztig, « A topological approach to Springer's representation », Adv. Math., vol. 38,‎ 1980, p. 222-228 (DOI 10.1016/0001-8708(80)90005-5).
• 1981 — George Lusztig, « Green polynomials and singularities of unipotent classes », Adv. Math., vol. 42,‎ 1981, p. 169–178.
• 1985 — George Lusztig et Nicolas Spaltenstein, « On the generalized Springer correspondence for classical groups », Advanced Studies in Pure Mathematics, vol. 6,‎ 1985, p. 289–316.
• 1985 — Nicolas Spaltenstein, « On the generalized Springer correspondence for exceptional groups », Advanced Studies in Pure Mathematics, vol. 6,‎ 1985, p. 317–338.

Un numéro spécial à la mémoire de T.A. Springer

• 2022 — Daniel Juteau, Cédric Lecouvey et Karine Sorlin, « Springer basic sets and modular Springer correspondence for classical types », Indagationes Mathematicae, vol. 33 « Special issue to the memory of T.A. Springer », n^o 1,‎ 2022, p. 218-237 (arXiv 1410.1477).
• 2022 — Syu Kato, « Symmetric functions and Springer representations », Indagationes Mathematicae, vol. 33 « Special issue to the memory of T.A. Springer », n^o 1,‎ 2022, p. 255-278 (arXiv 2011.08374).