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Nombre remarquable

En mathématiques, certains nombres se distinguent des autres, jouent un rôle clef, ou apparaissent curieusement dans beaucoup de formules. Ces nombres, considérés comme importants, sont appelés nombres remarquables et portent un nom, qui est parfois celui d'un mathématicien, d'une figure géométrique... Certains les appellent des constantes mathématiques, bien que constante ne corresponde pas en mathématiques à une quantité ou un nombre, mais à une fonction constante. Il faut donc interpréter une constante mathématique comme un nombre particulier.

Beaucoup de nombres en mathématiques ont une signification particulière et apparaissent dans différents contextes. Par exemple, on a le théorème suivant : il existe une unique fonction holomorphe, appelée exponentielle et notée , telle que

pour tout complexe ;

L'exponentielle de un, , est le nombre remarquable noté . De plus la fonction est périodique, de période , un autre nombre remarquable.

Les nombres remarquables sont typiquement des éléments du corps des nombres réels ou des complexes. En tous cas, ces nombres particuliers sont toujours définissables, et ceux existant actuellement ont une (ou plusieurs) définition rigoureuse. D'autre part, ils sont presque toujours calculables. Mais il existe des nombres remarquables pour lesquels seules des valeurs approchées grossières sont connues. Certains nombres réels remarquables, peuvent être classés en fonction de leur représentation sous forme de fraction continue.

Entiers remarquables

Nombres rationnels remarquables

Nombres algébriques remarquables

  • La racine carrée de deux, est un nombre irrationnel, solution de l'équation . C'est peut-être le premier irrationnel à avoir été mis en évidence par les Grecs ; il est égal à la longueur de la diagonale d'un carré de côté un ; il intervient dans les formules donnant les volumes du tétraèdre et de l'octaèdre ;
  • le nombre , nombre imaginaire pur, est une des deux solutions complexes de l'équation permettant l'extension de l'ensemble des nombres réels à l'ensemble des nombres complexes ; l'autre solution est son opposé ;
  • le nombre d'or, souvent noté φ, égal à ;
  • fait partie des nombres irrationnels qui possèdent un développement en fraction continue purement périodique .

Nombres algébriques non constructibles

Nombres transcendants

Nombres transcendants non calculables

Nombres normaux

  • Le nombre de Champernowne
0,1234567891011121314151617...

qui contient dans son développement décimal la concaténation de tous les nombres naturels, est normal en base 10 mais il ne l'est pas dans certaines autres bases.

0,2357111317192329313741...

obtenue en concaténant les nombres premiers est connue comme étant un nombre normal en base 10.

On ne sait pas si √2, π, ln(2) ou e sont normaux.

Nombres complexes remarquables

  • Selon l'hypothèse de Riemann, les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques actuelles.

Nombres réels au statut indéterminé

Nombres dont on ne sait pas s'il sont rationnel ou non :

Notes et références

  1. Les nombres et sont des racines de l'équation . Si et étaient algébriques, on en déduirait que et le sont aussi. En fait, on s'attend à ce que et soient tous deux transcendants mais on ne sait pas le montrer.

Bibliographie

  • François Le Lionnais et Jean Brette, Les Nombres remarquables, Paris, Hermann, , 158 p. (ISBN 2-7056-1407-9)
  • David Wells (trad. Marc Genevrier), Dictionnaire Penguin des nombres curieux, Eyrolles, , 239 p. (ISBN 978-2-2120-3636-7)
  • Daniel Lignon, Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers, Ellipses, , 702 p. (ISBN 978-2-7298-7638-8)
  • Jean-Marie de Koninck, Ces nombres qui nous fascinent, Ellipses, , 448 p. (ISBN 978-2-3400-2513-4)

Articles connexes

Liens externes

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