Constante de Khintchine

La preuve qui suit est de Czesław Ryll-Nardzewski (en)[3] et est bien plus simple que la preuve originale de Khintchine qui n'utilisait pas la théorie ergodique.

Remarquant que le coefficient a₀ de la fraction continue de x ne joue pas de rôle, et que les nombres rationnels sont de mesure nulle, on se ramène à montrer la propriété sur ${\displaystyle I=[0,1]\setminus \mathbb {Q} }$. Soit T:I → I définie par

${\displaystyle T([a_{1},a_{2},\dots ])=[a_{2},a_{3},\dots ]}$.

La transformation T est un opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing. Pour tout borélien E de  I, on définit de plus une mesure de Gauss-Kuzmin sur E

${\displaystyle \mu (E)={\frac {1}{\ln 2}}\int _{E}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x}}}$.

Alors μ est une mesure de probabilité sur la tribu borélienne de  I. La mesure μ est équivalente à la mesure de Lebesgue sur  I, mais T préserve la mesure μ. De plus, on peut montrer que T est une transformation ergodique de l'espace mesurable  I muni de la mesure de probabilité μ (c'est la partie difficile). Le théorème ergodique implique alors que pour toute fonction μ-intégrable f sur  I, la valeur moyenne de ${\displaystyle f\left(T^{k}x\right)}$ est la même pour presque tout ${\displaystyle x\in I}$ :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(f\circ T^{k})(x)=\int _{I}f\,\mathrm {\mu } }$.

En appliquant cela à f([a₁, a₂, ...]) = ln(a₁), on obtient

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln(a_{k})=\int _{I}f\,\mathrm {d} \mu =\sum _{k=1}^{\infty }\ln(k){\frac {\ln {\bigl (}1+{\frac {1}{k(k+2)}}{\bigr )}}{\ln 2}}}$

pour presque tout [a₁, a₂, ...] dans  I, ce qui conclut.

La constante de Khintchine peut être exprimée sous la forme[4]

${\displaystyle \ln K={\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}}$,

ou encore

${\displaystyle \ln K={\frac {1}{\ln 2}}\left[-\sum _{k=2}^{N}\ln \left({\frac {k-1}{k}}\right)\ln \left({\frac {k+1}{k}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n,N+1)}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\right]}$

où N est un entier, et ζ(s, n) la fonction zêta de Hurwitz complexe. Une expression de la constante en fonction du dilogarithme :

${\displaystyle \ln K=\ln 2+{\frac {1}{\ln 2}}\left[{\mbox{Li}}_{2}\left({\frac {-1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\mbox{Li}}_{2}\left({\frac {4}{k^{2}}}\right)\right].}$

On peut généraliser le résultat précédent en remplaçant la moyenne géométrique par une moyenne de Hölder d'ordre p pour tout réel non nul p < 1 : pour presque tout irrationnel, la moyenne d'ordre p des n premiers coefficients du développement en fraction continue ${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)^{1/p}}$ tend vers une constante ${\displaystyle K_{p}}$[4] - [5] ayant pour valeur ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right)^{1/p}}$[4] - [5].

..

La valeur de ${\displaystyle K=K_{0}}$ est obtenue en faisant tendre p vers 0.

Dans le cas p = -1, la moyenne de Hölder est la moyenne harmonique, qui conduit à la constante

${\displaystyle K_{-1}=1{,}74540566240\dots }$ (suite A087491 de l'OEIS).

On trouvera dans [6] les valeurs, avec leur lien dans l'OEIS, des constantes ${\displaystyle K_{p}}$ pour p entier négatif.