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Théorème ergodique

Dans les systèmes dynamiques, et en particulier en théorie ergodique, de nombreux théorèmes sont appelés théorèmes ergodiques. Ils permettent de quantifier au sens de la théorie de la mesure la densité des orbites d'un système dynamique mesuré.

Théorème ergodique de Birkhoff

Soit :

  • un espace mesuré borné.
  • T : X→X une transformation mesurable préservant la mesure (c'est-à-dire que pour tout ensemble mesurable A de , on a ).

Alors :

  • Pour toute fonction de L1(X,μ), la suite converge μ-presque partout.
  • De plus, en notant (lorsqu'elle existe), , on a :
    • , -presque partout.
    • ( est donc dans ).
    • La suite de fonctions converge dans L1(X,μ) vers .
    • Pour tout ensemble mesurable A tel que , on a :. Ceci peut être reformulé de manière équivalente en disant que (presque partout), ou est la tribu contenant tous les ensembles pour lesquelles et dénote l'espérance conditionnelle.

Corollaire

Avec les mêmes hypothèses et en supposant en plus que soit μ-ergodique, on a :

pour μ-presque tout .

Remarques

  • La somme s'appelle une moyenne de Birkhoff de .
  • La limite lorsqu'elle existe s'appelle la moyenne orbitale (ou temporelle) de .
  • L'intégrale est la moyenne spatiale de .

Ainsi, le théorème dit que si est une mesure de probabilité pour laquelle est ergodique, presque toutes les moyennes temporelles d'une fonction intégrable coïncident avec sa moyenne spatiale.

Quelques applications simples

Exemple 1

Soit B un ensemble mesurable non négligeable (μ(B)>0). Si T est μ-ergodique, alors pour presque tout de , on a :

La proportion du temps dans que l'orbite de x passe dans B converge donc vers μ(B)/μ(X) quand .

Exemple 2

Pour presque tout réel de l'intervalle (dans le sense de Lebesgue), si on met dans l'écriture décimale, c'est-à-dire que est le chiffre des dixièmes de , le chiffre des centièmes de , etc, alors on a

Théorème ergodique de von Neumann

Soient un opérateur unitaire sur un espace de Hilbert , ou plus généralement un opérateur de norme ≤ 1[1], et la projection orthogonale sur le sous-espace des vecteurs fixes par . Alors, pour tout vecteur de , on a[2] :

,

où la limite est au sens de la topologie de la norme sur . Autrement dit, la suite des moyennes converge vers pour la topologie forte des opérateurs (en).

Ce théorème s'applique en particulier au cas où l'espace de Hilbert est l'espace L2 d'un espace mesuré et où est un opérateur de la forme , pour un certain endomorphisme de qui préserve la mesure, et qui peut être vu comme le changement d'état d'un système dynamique à temps discret[3]. Le théorème ergodique dit alors que la moyenne d'une fonction sur un intervalle de temps assez grand est approchée par la projection orthogonale de sur les fonctions qui restent constantes au cours du temps.

Une autre formulation de ce théorème ergodique est que si est un groupe à un paramètre fortement continu d'opérateurs unitaires sur , alors l'opérateur

converge (pour la topologie forte des opérateurs) quand tend vers l'infini. En fait, ce résultat s'étend à un demi-groupe à un paramètre fortement continu d'opérateurs non expansifs sur un espace réflexif.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ergodic theory » (voir la liste des auteurs).
  1. Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  2. (en) M. Reed (en) et B. Simon, Functional Analysis, San Diego, Academic Press, 1980 (ISBN 978-0-12585050-6).
  3. (en) Peter Walters, An Introduction to Ergodic Theory, Springer, New York, 1982 (ISBN 0-387-95152-0).

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

(en) George D. Birkhoff, Proof of the ergodic theorem, Proc. NAS 17 (1931), 656-660

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