Théorème ergodique

Soit :

• ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ un espace mesuré borné.
• T : X→X une transformation mesurable préservant la mesure ${\displaystyle \mu }$ (c'est-à-dire que pour tout ensemble mesurable A de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, on a ${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$).

Alors :

• Pour toute fonction ${\displaystyle f}$ de L¹(X,μ), la suite ${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\circ T^{k}(x)\right)_{n\geq 1}}$ converge μ-presque partout.
• De plus, en notant (lorsqu'elle existe), ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\circ T^{k}(x)=g(x)}$, on a :
  • ${\displaystyle g\circ T=g}$, ${\displaystyle \mu }$-presque partout.
  • ${\displaystyle \|g\|_{1}\leq \|f\|_{1}}$ (${\displaystyle g}$ est donc dans ${\displaystyle L^{1}(X,\mu )}$).
  • La suite de fonctions ${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\circ T^{k}\right)_{n\geq 1}}$ converge dans L¹(X,μ) vers ${\displaystyle g}$.
  • Pour tout ensemble mesurable A tel que ${\displaystyle \mu \left(T^{-1}(A)\Delta A\right)=0}$, on a :${\displaystyle \int _{A}g(x)~\mathrm {d} \mu (x)=\int _{A}f(x)~\mathrm {d} \mu (x)}$. Ceci peut être reformulé de manière équivalente en disant que ${\displaystyle g={\mathsf {E}}(f\mid {\mathcal {I}})}$ (presque partout), ou ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ est la tribu contenant tous les ensembles ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ pour lesquelles ${\displaystyle \mu \left(T^{-1}(A)\Delta A\right)=0}$ et ${\displaystyle {\mathsf {E}}(\cdot \mid {\mathcal {I}})}$ dénote l'espérance conditionnelle.

Avec les mêmes hypothèses et en supposant en plus que ${\displaystyle T}$ soit μ-ergodique, on a :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\circ T^{k}(x)=\int _{X}f(t)~\mathrm {d} \mu (t)}$ pour μ-presque tout ${\displaystyle x}$.

• La somme ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\circ T^{k}(x)}$ s'appelle une moyenne de Birkhoff de ${\displaystyle f}$.
• La limite ${\displaystyle \lim \nolimits _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\circ T^{k}(x)}$ lorsqu'elle existe s'appelle la moyenne orbitale (ou temporelle) de ${\displaystyle f}$.
• L'intégrale ${\displaystyle \int _{X}f(t)~\mathrm {d} \mu (t)}$ est la moyenne spatiale de ${\displaystyle f}$.

Ainsi, le théorème dit que si ${\displaystyle \mu }$ est une mesure de probabilité pour laquelle ${\displaystyle T}$ est ergodique, presque toutes les moyennes temporelles d'une fonction intégrable coïncident avec sa moyenne spatiale.

• Quelques formulations du loi forte des grands nombres sont des cas particuliers de ce théorème.

Exemple 1

Soit B un ensemble mesurable non négligeable (μ(B)>0). Si T est μ-ergodique, alors pour presque tout ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$, on a :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\operatorname {card} (\{k\in \{0,\ldots ,n-1\}~|~T^{k}(x)\in B\})={\frac {\mu (B)}{\mu (X)}}.}$

La proportion du temps dans ${\displaystyle \{0,\ldots ,n-1\}}$ que l'orbite de x passe dans B converge donc vers μ(B)/μ(X) quand ${\displaystyle n\to \infty }$.

Exemple 2

Pour presque tout réel ${\displaystyle x}$ de l'intervalle ${\displaystyle [0,1]}$ (dans le sense de Lebesgue), si on met ${\displaystyle x}$ dans l'écriture décimale, c'est-à-dire que ${\displaystyle x=0.a_{1}a_{2}a_{3}...}$ où ${\displaystyle a_{1}}$ est le chiffre des dixièmes de ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle a_{2}}$ le chiffre des centièmes de ${\displaystyle x}$, etc, alors on a

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\operatorname {card} (\{k\in \{1,2,\dots ,n\}:a_{k}=0\})}{n}}={\frac {1}{10}}.}$

Soient ${\displaystyle U}$ un opérateur unitaire sur un espace de Hilbert ${\displaystyle H}$, ou plus généralement un opérateur de norme ≤ 1[1], et ${\displaystyle P}$ la projection orthogonale sur le sous-espace des vecteurs fixes par ${\displaystyle U}$. Alors, pour tout vecteur ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle H}$, on a[2] :

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}x=Px}$,

où la limite est au sens de la topologie de la norme sur ${\displaystyle H}$. Autrement dit, la suite des moyennes ${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}}$converge vers ${\displaystyle P}$ pour la topologie forte des opérateurs (en).

Ce théorème s'applique en particulier au cas où l'espace de Hilbert ${\displaystyle H}$ est l'espace L² d'un espace mesuré ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ et où ${\displaystyle U}$ est un opérateur de la forme ${\displaystyle Uf(x)=f(Tx)}$, pour un certain endomorphisme ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle X}$ qui préserve la mesure, et qui peut être vu comme le changement d'état d'un système dynamique à temps discret[3]. Le théorème ergodique dit alors que la moyenne d'une fonction ${\displaystyle f}$ sur un intervalle de temps assez grand est approchée par la projection orthogonale de ${\displaystyle f}$ sur les fonctions qui restent constantes au cours du temps.

Une autre formulation de ce théorème ergodique est que si ${\displaystyle U_{t}}$ est un groupe à un paramètre fortement continu d'opérateurs unitaires sur ${\displaystyle H}$, alors l'opérateur

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}~\mathrm {d} t}$

converge (pour la topologie forte des opérateurs) quand ${\displaystyle T}$ tend vers l'infini. En fait, ce résultat s'étend à un demi-groupe à un paramètre fortement continu d'opérateurs non expansifs sur un espace réflexif.