Théorème de Dunford-Schwartz

En analyse fonctionnelle (mathématique), le théorème de Dunford-Schwartz, nommé d'après Nelson Dunford et Jacob T. Schwartz, établit que les moyennes des puissances de certains opérateurs bornés sur $L$ ¹ convergent, en un sens approprié[1].

Soit T un opérateur linéaire de $L$ ¹ dans $L$ ¹ tel que ‖T‖₁ ≤ 1 et ‖T‖_$\infty$ ≤ 1 (au sens[2] : ∀g ∈ $L$ ¹∩ $L \infty$ , ‖Tg‖_$\infty$ ≤ ‖g‖_$\infty$). Alors, pour tout $f \in L 1$ ,
$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}T^{k}f$
est définie presque partout.

L'hypothèse ‖T‖_$\infty$ ≤ 1 ne peut être affaiblie en ‖T‖_$\infty$ ≤ 1 + ε[2].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dunford–Schwartz theorem » (voir la liste des auteurs).

(en) Nelson Dunford et J. T. Schwartz, « Convergence almost everywhere of operator averages », J. Rational Mech. Anal., vol. 5,‎ 1956, p. 129-178
(en) N. Friedman, « On the Dunford-Schwartz theorem », Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete, vol. 5, n^o 3,‎ 1966, p. 226-231 (DOI 10.1007/BF00533059)

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