Nombre de Dottie

Le nom "Dottie" est le surnom donné par Samuel Kaplan à une amie, professeur de français, qui avait remarqué la propriété étonnante sur sa calculatrice et en avait demandé la raison [2].

Construction d'une suite ${\displaystyle (u_{n})}$ de premier terme ${\displaystyle u_{0}=-1}$.

• Toutes les suites ${\displaystyle (u_{n})}$ de premier terme réel et vérifiant ${\displaystyle u_{n+1}=\cos u_{n}}$ convergent vers le nombre de Dottie.

• Le nombre de Dottie est transcendant d'après le théorème d'Hermite-Lindemann[3] - [alpha 2].

Le nombre de Dottie apparait dans peu de problèmes mathématiques ; il est principalement utilisé comme exemple de point fixe attractif par les professeurs de mathématiques. On trouvera des applications dans [4].

Appelons D le nombre de Dottie, on a :

${\displaystyle \sin D={\sqrt {1-D^{2}}}\approx 0,673612029183}$

${\displaystyle \tan D\approx 0,911413312094}$

Le fait que ${\displaystyle \sin D=|\cos 'D|<1}$ prouve l’attractivité de D comme point fixe.

• Si la calculatrice est réglée en mode "degré", le fait d'appuyer sur la touche "cos" conduit à l'unique solution de ${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{180}}x\right)=x}$, de valeur approchée 0,99984774, voir la suite A330119 de l'OEIS.
• Des appuis successifs sur les touches "racine carrée" ou "sin" conduisent respectivement vers 1 ou 0.
• Des appuis alternés sur les touches "sin" et "cos" conduisent au cycle attractif ${\displaystyle (a,b)}$ où ${\displaystyle a}$ est l'unique solution de ${\displaystyle \sin(\cos x)=x}$ , voir la suite A131691 de l'OEIS, et ${\displaystyle b}$ est l'unique solution de ${\displaystyle \cos(\sin x)=x}$, voir la suite A277077 de l'OEIS
• L'unique solution entre 0 et ${\displaystyle \pi /2}$ de ${\displaystyle \cot x=x}$ a pour valeur approchée 0,86033359, voir la suite A069855 de l'OEIS, mais ce point fixe n'est pas attractif. Il l'est par contre pour la fonction ${\displaystyle \operatorname {arccot} }$.
• L'unique solution entre ${\displaystyle \pi }$ et ${\displaystyle 3\pi /2}$ de ${\displaystyle \tan x=x}$ a pour valeur approchée 4,493409, voir la suite A115365 de l'OEIS ; c'est aussi l'unique point fixe de ${\displaystyle x\mapsto \arctan x+\pi }$, point fixe qui est attractif. C'est également l'abscisse du premier minimum pour ${\displaystyle x>0}$ de la fonction sinus cardinal : ${\displaystyle {\text{sinc }}x={\frac {\sin x}{x}}}$.
• L'unique solution positive de ${\displaystyle \coth x=x}$, a pour valeur approchée 1,19967864, voir la suite A085984 de l'OEIS, et ce point fixe est attractif. Notant ${\displaystyle C}$ cette constante, le nombre ${\displaystyle 1/\sinh C}$ est la constante de Laplace.
• L'équation complexe ${\displaystyle \cos z=z}$ possède des solutions complexes non réelles, de la forme ${\displaystyle x+iy}$ où ${\displaystyle (x,y)}$ est solution de ${\displaystyle {\begin{cases}\cos x\cosh x=x\\\sin x\sinh y=-y\end{cases}}}$ , voir la suite A335565 de l'OEIS et la suite A335566 de l'OEIS.

• James Stewart Single Variable Calculus : Concepts and Contexts Brook/Cole 2010, (ISBN 978-0-495-55972-6), page 314
• Miller T.H. On the Numerical Values of the Roots of the Equation cos x = x Proc. Edimburg Math. Soc. 9, 1890, pages 80 à 83
• Bertrand J. Exercice III Traité d'Algèbre Vol 1-3, 4^e édition Paris Librairie de L. Hachette et C^ie, 1865, page 285

• Jérôme Cottanceau, « Les nombres magiques », sur Chou romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes, 27 septembre 2008
• (en) [vidéo] What is cos( cos( cos( cos( cos( cos( cos( cos( cos( cos( cos( cos(…?? // Banach Fixed Point Theorem sur YouTube (consulté le 27 avril 2023)