Degré d'un polynôme

Les noms suivants sont affectés aux polynômes en fonction de leur degré[2] - [3] - [4] :

• cas particulier – nul (voir § Degré du polynôme nul ci-dessous)
• degré 0 – constant[5]
• degré 1 – affine
• degré 2 – quadratique
• degré 3 – cubique
• degré 4 – quartique
• degré 5 – quintique
• degré 6 – sextique

Les noms pour les degrés au-dessus de 3 sont basés sur les nombres ordinaux latins, et se terminent en -ique. Cela doit être distingué des noms utilisés pour le nombre d'indéterminées, l'arité, qui sont basés sur les nombres distributifs (en) latins, et se terminent en -aire. Par exemple, un polynôme de degré 2 à deux indéterminées, tel que X² + XY + Y², est dit « quadratique binaire » : quadratique du fait de son degré 2, binaire du fait de ses deux variables[6]. Il existe aussi des noms pour désigner le nombre de termes, qui sont également basés sur les nombres distributifs latins, et se terminent en -nôme ; les plus courants sont monôme, binôme et trinôme ; ainsi, X² + Y² est un « binôme quadratique binaire ».

• Le polynôme 3 – 5X + 2X⁵ – 7X⁹ est de degré 9.
• Le polynôme (Y – 3)(2Y + 6)(–4Y – 21) est un polynôme cubique.
• Le polynôme (3Z⁸ + Z⁵ – 4Z² + 6) + (–3Z⁸ + 8Z⁴ + 2Z³ + 14Z) est un polynôme quintique (du fait que les Z⁸ s'annulent).

Les formes canoniques des trois exemples ci-dessus sont :

• pour 3 – 5X + 2X⁵ – 7X⁹, après réarrangement, –7X⁹ + 2X⁵ – 5X + 3 ;
• pour (Y – 3)(2Y + 6)(–4Y – 21), après développement des produits et rassemblement des termes de même degré, –8Y³ – 42Y² + 72Y + 378 ;
• pour (3Z⁸ + Z⁵ – 4Z² + 6) + (–3Z⁸ + 8Z⁴ + 2Z³ + 14Z), dans lequel les deux termes de degré 8 s'annulent, Z⁵ + 8Z⁴ + 2Z³ – 4Z² + 14Z + 6.

Le degré du polynôme nul est, soit laissé indéfini, soit défini comme étant négatif (habituellement, −1 ou −∞)[7].

Comme toute valeur constante, la valeur 0 peut être considérée comme un polynôme (constant), appelé le polynôme nul. Il n'a aucun terme non nul et ainsi, de façon rigoureuse, il n'a pas de degré non plus. En tant que tel, son degré est indéfini. Les propositions pour le degré des sommes et des produits de polynômes dans la section ci-dessus ne s'appliquent pas si l'un quelconque des polynômes concernés est le polynôme nul[8].

Il est commode, cependant, de définir le degré du polynôme nul comme étant moins l'infini, −∞, et d'introduire les règles arithmétiques[9] max(a, −∞) = a et a + (−∞) = −∞.

Les exemples suivants illustrent comment cette extension vérifie les règles de comportement ci-dessus :

• le degré de la somme (X³ + X) + 0 = X³ + X est 3, ce qui vérifie le comportement attendu, puisque 3 ≤ max(3, −∞) ;
• le degré de la différence X – X = 0 est −∞, ce qui vérifie le comportement attendu, puisque −∞ ≤ max(1, 1) ;
• le degré du produit 0(X² + 1) = 0 est −∞, ce qui vérifie le comportement attendu, qui est que puisque −∞ = −∞ + 2.

Le degré d'un polynôme f peut être calculé par la formule ${\displaystyle \deg f=\lim _{x\to +\infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}.}$ Cette formule généralise le concept de degré à certaines fonctions qui ne sont pas polynomiales. Par exemple :

• le degré de la fonction inverse, x ↦ 1/x, est −1 ;
• le degré de la racine carrée, √ , est 1/2 ;
• le degré du logarithme, log, est 0 ;
• le degré de la fonction exponentielle, exp, est +∞.

Un autre formule pour calculer le degré de f à partir de ses valeurs est ${\displaystyle \deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}.}$ (Ceci provient de la règle de L'Hôpital.)

Pour des  polynômes à deux variables ou plus, le degré d'un terme est la somme des exposants des variables dans le terme ; le degré (parfois appelé degré total) du polynôme est à nouveau le maximum des degrés de tous les termes du polynôme. Par exemple, le polynôme x²y² + 3x³ + 4y est de degré 4, le degré du terme x²y².

Toutefois, un polynôme en les variables x et y est un polynôme en x ayant des coefficients qui sont des polynômes en y, et également, un polynôme en y ayant des coefficients qui sont des polynômes en x.

x²y² + 3x³ + 4y = (3)x³ + (y²)x² + (4y) = (x²)y² + (4)y + (3x³)

Ce polynôme a un degré 3 en x et un degré 2 en y.

Le degré total de la somme de deux polynômes est inférieur ou égal au plus grand de leurs degrés totaux respectifs (égal si ces deux degrés sont distincts), et celui du produit de deux polynômes est inférieur ou égal (égal si l'anneau est intègre) à la somme de leurs degrés totaux respectifs.

Étant donné un anneau R, l'anneau polynomial R[x] est l'ensemble de tous les polynômes en x qui ont des coefficients pris dans R. Dans le cas particulier où R est aussi un corps, alors l'anneau polynomial R[x] est un anneau principal et, plus important pour notre discussion ici, un anneau euclidien.

Il peut être montré que le degré d'un polynôme sur un corps vérifie toutes les hypothèses de la fonction norme dans l'anneau euclidien. C'est-à-dire que, étant donné deux polynômes f(x) et g(x), le degré du produit f(x)g(x) doit être supérieur à chacun des degrés de f et g pris séparément. En fait, quelque chose de plus fort est vérifié :

deg(f(x)g(x)) = deg(f(x)) + deg(g(x))

Pour un exemple de raison pour laquelle la fonction degré peut échouer sur un anneau qui n'est pas un corps, considérer l'exemple suivant. Soit R = ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$, l'anneau des entiers modulo 4. Cet anneau n'est pas un corps (et n'est même intègre), parce que 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Par conséquent, soit f(x) = g(x) = 2x + 1. Alors, f(x)g(x) = 4x² + 4x + 1 = 1. Alors deg(f⋅g) = 0, ce qui n'est pas supérieur aux degrés de f et g (qui sont chacun de degré 1).

Du fait que la fonction norme n'est pas définie pour l'élément nul de l'anneau, nous considérerons le degré du polynôme f(x) = 0 comme également non défini, de sorte qu'il vérifie les règles d'une norme dans un anneau euclidien.