Courbe implicite

Courbes équipotentielles de deux charges ponctuelles situées aux points bleus

Les courbes équipotentielles de deux charges ponctuelles égales aux points ${\displaystyle P_{1}=(1,0),\;P_{2}=(-1,0)}$ sont représentées par l'équation

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&={\frac {1}{|PP_{1}|}}+{\frac {1}{|PP_{2}|}}-c\\[3pt]&={\frac {1}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}}}}-c=0.\end{aligned}}}$

Les courbes ressemblent aux ovales de Cassini, mais ce n'en sont pas.

Un point ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ de la courbe est dit régulier si l'une des dérivées partielles premières ${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})}$ et ${\displaystyle F_{y}(x_{0},y_{0})}$ est non nulle, autrement dit si${\displaystyle {\text{grad}}F(x_{0},y_{0})\neq (0,0)}$.

L'équation de la tangente en un point régulier ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ est donnée par :

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})=0}$,

donc la pente de la tangente, si ${\displaystyle F_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0,}$ est égale à

${\displaystyle -{\frac {F_{x}(x_{0},y_{0})}{F_{y}(x_{0},y_{0})}}}$.

Dans le cas où ${\displaystyle F_{y}(x_{0},y_{0})=0\neq F_{x}(x_{0},y_{0})}$, la courbe est verticale en ce point.

Un vecteur normal à la courbe en ce point est donné par

${\displaystyle \mathbf {n} (x_{0},y_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0}))}$.

Pour la lisibilité des formules, les arguments ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ sont omis. La courbure ${\displaystyle \kappa }$ en un point régulier est donnée par la formule

${\displaystyle \kappa =-{\frac {F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}}{(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}}=-{\frac {q^{2}r-2pqs+p^{2}t}{(p^{2}+q^{2})^{3/2}}}=-{\frac {{\begin{bmatrix}-q&p\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}r&s\\s&t\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-q\\p\end{bmatrix}}}{(p^{2}+q^{2})^{3/2}}}}$[1].

Si ${\displaystyle F_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0,}$ le théorème des fonctions implicites garantit au voisinage d'un point ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ l'existence d'une fonction ${\displaystyle f}$ telle que ${\displaystyle F(x,f(x))=0}$ . Par la règle de dérivation des fonctions composées, les dérivées de la fonction ${\displaystyle f}$ sont alors :

${\displaystyle f'(x)=-{\frac {F_{x}(x,f(x))}{F_{y}(x,f(x))}}}$ et ${\displaystyle f''(x)=-{\frac {F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}}{F_{y}^{3}}}}$

(où les arguments ${\displaystyle (x,f(x))}$ à droite de la deuxième formule sont omis pour faciliter la lecture).

Or les formules de la pente de tangente et de la courbure ${\displaystyle \kappa (x_{0})}$ de la courbe d'équation explicite ${\displaystyle y=f(x)}$ sont respectivement

Exemple de la courbe d'équation ${\displaystyle x^{4}=x^{2}+y^{2}}$ présentant un point isolé en (0,0) (campyle d'Eudoxe)

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}f'(x_{0})\\{\frac {f''(x_{0})}{(1+f'(x_{0})^{2})^{3/2}}}\end{array}}\right.}$

D'où les résultats du paragraphe précédent en insérant les valeurs ci-dessus, résultats encore valables si ${\displaystyle F_{y}(x_{0},y_{0})=0\neq F_{x}(x_{0},y_{0})}$.

Exemple de la courbe d'équation ${\displaystyle x^{4}=x^{2}-y^{2}}$ présentant un point de croisement en (0,0) (courbe en huit).

Si les deux dérivées ${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})}$ et ${\displaystyle F_{y}(x_{0},y_{0})}$ sont nulles, la courbe y présente un point singulier.

Si en ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ , ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}r&s\\s&t\end{bmatrix}}=rt-s^{2}>0}$, il s'agit d'un point isolé.

Si en ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ , ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}r&s\\s&t\end{bmatrix}}=rt-s^{2}<0}$, il s'agit d'un point de croisement.

Si en ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ , ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}r&s\\s&t\end{bmatrix}}=rt-s^{2}=0}$, il s'agit en général d'un point de rebroussement.

1. Les représentations implicites facilitent le calcul des points d'intersection : si une courbe est représentée implicitement et l'autre paramétriquement, le calcul des points d'intersection ne nécessite qu'une simple itération de Newton (à une dimension) (mais pas dans les cas implicite-implicite et paramétrique-paramétrique).
2. Une représentation implicite ${\displaystyle F(x,y)=0}$ donne la possibilité de créer des zones hors de la courbe suivant le signe de ${\displaystyle F(x,y)}$. Cela peut être utile par exemple pour appliquer la méthode de la fausse position au lieu d'une itération de Newton.
3. Il est facile de générer des courbes qui sont presque géométriquement semblables à la courbe implicite donnée ${\displaystyle F(x,y)=0,}$ en ajoutant juste une petite constante : ${\displaystyle F(x,y)-c=0}$ (voir le paragraphe Approximations lisses ).

L'inconvénient principal du fait qu'une courbe soit sous forme implicite est l'absence de possibilité facile de calcul de points donnés, ce qui est nécessaire pour la visualisation de cette courbe (voir le paragraphe de visualisation).

Une approximation lisse d'un polygone convexe peut être obtenue de la manière suivante : Soit ${\displaystyle g_{i}(x,y)=a_{i}x+b_{i}y+c_{i}=0,\ i=1,\dotsc ,n}$ les équations des droites contenant les bords du polygone, exprimées de façon que pour un point intérieur au polygone ${\displaystyle g_{i}}$ soit positif. Un sous-ensemble de la courbe implicite

${\displaystyle F(x,y)=g_{1}(x,y)\cdots g_{n}(x,y)-c=0}$

avec un petit paramètre approprié ${\displaystyle c}$ est alors une approximation lisse (différentiable) du polygone. Par exemple, les courbes

${\displaystyle F(x,y)=(x+1)(-x+1)y(-x-y+2)(x-y+2)-c=0}$ pour ${\displaystyle c=0,03\$ ;\dotsc ;0,6}

contiennent des approximations lisses d'un polygone à 5 côtés (voir figure).

Dans le cas de deux droites

${\displaystyle F(x,y)=g_{1}(x,y)g_{2}(x,y)-c=0}$

on obtient

• un faisceau de droites parallèles, si les droites données sont parallèles ou
• un faisceau d'hyperboles ayant pour asymptotes les droites données.

Par exemple, le produit des variables des axes de coordonnées donne le faisceau des hyperboles ${\displaystyle xy-c=0,\ c\neq 0}$, ayant les axes de coordonnées comme asymptotes.

Si l'on part de simples courbes implicites autres que des droites (cercles, paraboles,...) on obtient un large éventail de nouvelles courbes intéressantes. Par exemple,

${\displaystyle F(x,y)=y(-x^{2}-y^{2}+1)-c=0}$

(produit d'un cercle et de l'axe des x) donne des approximations lisses du bord d'un demi-disque (voir image), et

${\displaystyle F(x,y)=(-x^{2}-(y+1)^{2}+4)(-x^{2}-(y-1)^{2}+4)-c=0}$

(produit de deux cercles) donne des approximations lisses du bord de l'intersection de deux disques (voir image).

Courbe de fusion (rouge) de deux cercles

En CAO on utilise des courbes implicites pour générer des courbes de raccord[2] - [3], qui sont des courbes établissant une transition douce entre deux courbes données. Par exemple,

${\displaystyle F(x,y)=(1-\mu )f_{1}f_{2}-\mu (g_{1}g_{2})^{3}=0}$

génère des courbes de raccord entre les deux cercles

${\displaystyle f_{1}(x,y)=(x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}=0,}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)=(x-x_{2})^{2}+y^{2}-r_{2}^{2}=0.}$

La méthode garantit la continuité des tangentes et des courbures aux points de contact (voir schéma). Les deux droites

${\displaystyle g_{1}(x,y)=x-x_{1}=0,\ g_{2}(x,y)=x-x_{2}=0}$

déterminent les points de contact aux cercles. Le paramètre ${\displaystyle \mu }$ est un paramètre de conception. Dans la figure, ${\displaystyle \mu =0,05\$ ;\dotsc \ ;0,2} .

Pour la solution des deux tâches mentionnées ci-dessus, il est indispensable de disposer d'un programme informatique (que nous appellerons ${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$ ), qui, lorsqu'on lui donne un point ${\displaystyle Q_{0}=(x_{0},y_{0})}$ près d'une courbe implicite, trouve un point ${\displaystyle P}$ qui est exactement sur la courbe:

(P1) pour le point de départ, ${\displaystyle j=0}$

(P2) répéter

${\displaystyle (x_{j+1},y_{j+1})=(x_{j},y_{j})-{\frac {F(x_{j},y_{j})}{F_{x}(x_{j},y_{j})^{2}+F_{y}(x_{j},y_{j})^{2}}}\,\left(F_{x}(x_{j},y_{j}),F_{y}(x_{j},y_{j})\right)}$

(méthode de Newton pour la fonction ${\displaystyle g(t)=F\left(x_{j}+tF_{x}(x_{j},y_{j}),y_{j}+tF_{y}(x_{j},y_{j})\right)\ .}$ )

(P3) jusqu'à la distance entre les points ${\displaystyle (x_{j+1},y_{j+1}),\,(x_{j},y_{j})}$ est assez petite.

(P4) ${\displaystyle P=(x_{j+1},y_{j+1})}$ est le point de la courbe près du point de départ ${\displaystyle Q_{0}}$ .

Visualisation de l'algorithme de traçage : les points de départ sont verts

Afin de générer un polygone dont les sommets sont quasi également espacés sur la courbe implicite, on choisit une longueur de pas ${\displaystyle s}$ et

(T1) on choisit un point de départ approprié à proximité de la courbe

(T2) on détermine un premier point de courbe ${\displaystyle P_{1}}$ en utilisant le programme ${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$

(T3) on détermine la tangente (voir ci-dessus), on choisit un point de départ sur la tangente en utilisant la longueur du pas ${\displaystyle s}$ (voir schéma) et on détermine un deuxième point de courbe ${\displaystyle P_{2}}$ en utilisant le programme ${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$ .

${\displaystyle \cdots }$

Illustration de l'algorithme de rastérisation appliqué à la courbe implicite ${\displaystyle (3x^{2}-y^{2})^{2}y^{2}-(x^{2}+y^{2})^{4}=0}$ . La courbe (en rouge) est ce que l'algorithme essaie de dessiner. Les points du réseau (noirs) sont utilisés comme points de départ pour trouver les points les plus proches sur la courbe (cercles rouges). L'espacement entre les points du réseau est exagéré ; pour tracer plus précisément la courbe, un réseau plus dense serait utilisé [4].

L'algorithme ne trace que des composantes connexes de la courbe. Si elle en possède plusieurs, il doit être redémarré plusieurs fois avec des points de départ appropriés.

Si la courbe implicite est constituée de plusieurs composantes, il peut être préférable d'utiliser un algorithme de rastérisation. Au lieu de suivre exactement la courbe, un tel algorithme couvre toute la courbe par beaucoup de points de sorte qu'ils se mélangent et fassent ressortir la courbe.

(R1) Générer un réseau de points (un raster) sur la zone d'intérêt du plan xy.

(R2) Pour chaque point ${\displaystyle P}$ dans le réseau, exécuter l'algorithme de point ${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$ à partir de ${\displaystyle P}$, puis marquer sa sortie.

Si le réseau est suffisamment dense, le résultat se rapproche de la courbe implicite.