Surface implicite

• L'exemple le plus élémentaire est sans nul doute l'exemple des plans affines. Si l est une forme linéaire sur ${\displaystyle R^{3}}$, alors ${\displaystyle l:R^{3}\rightarrow R}$ est une application différentiable et tout réel est une valeur régulière de l. Pour r donné, ${\displaystyle \{l=r\}}$ est une surface implicite de ${\displaystyle R^{3}}$.

• Autre exemple élémentaire, si ${\displaystyle q}$ est une forme quadratique non dégénérée de ${\displaystyle R^{3}}$, alors toute valeur non nulle est une valeur régulière de q :
  • Si q est définie positive, alors pour ${\displaystyle r<0}$, la surface implicite ${\displaystyle \{q=r\}}$ est vide ; et pour ${\displaystyle r>0}$, ${\displaystyle \{q=r\}}$ est une sphère.
  • Si q est non définie, de signature ${\displaystyle (2,1)}$, la surface implicite ${\displaystyle \{q=r\}}$ est un hyperboloïde à une ou deux nappes suivant le signe de r.

• La trompette de Gabriel est définie par la relation implicite :

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})z^{2}=a^{4}}$ avec a non nul.

La trompette de Gabriel est une surface de révolution.

• Marie-Paule Cani