Ovale de Cassini

Les hyperboles équilatères (en noir) admettent comme trajectoires orthogonales des ovales de Cassini (ici, a = 1)

Les ovales de Cassini sont les trajectoires orthogonales aux hyperboles équilatères de centre (0, 0) et passant par le point (1, 0).

En effet, l'équation de cette famille d'hyperboles est

${\displaystyle y^{2}-x^{2}+\lambda xy+1=0,\,\lambda \in \mathbb {R} .}$

Elle est solution de l'équation différentielle :

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+1)y\,dx-(x^{2}+y^{2}-1)x\,dy=0.}$

Ce qui donne l'équation différentielle des trajectoires orthogonales :

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+1)y\,dy+(x^{2}+y^{2}-1)x\,dx=0=d\left({\frac {1}{4}}(x^{2}+y^{2})^{2}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}\right).}$

Les trajectoires orthogonales sont donc d'équation

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}+2y^{2}=\mu ,\,\mu \in \mathbb {R} ,}$

et on retrouve bien l'équation des ovales de Cassini.

Ovales de Cassini comme sections planes d'un tore (le tore de droite est à trou nul).

On obtient des ovales de Cassini par intersection d'un tore par un plan parallèle à son axe et à une distance égale au rayon du cercle générateur.

On peut faire de même avec plus de deux foyers, ou plus de deux dimensions.

Par exemple, un ovale de Cassini à n foyers est l'ensemble des points P vérifiant :

• ${\displaystyle P_{1}P\times P_{2}P\times \cdots \times P_{n}P=b^{n}}$

Cette définition s'étend naturellement à l'espace, ce qui définit une surface implicite.

• 
  Ovale de Cassini à trois foyers.
• 
  Surface de Cassini à 6 foyers.