Trajectoire orthogonale

On note (C_α) le faisceau de courbes et (Γ_λ) celui de ses trajectoires orthogonales. On suppose que les courbes de (C_α) vérifient toutes une équation différentielle non paramétrée, qui permettent donc de déterminer la pente de la tangente en un point d'une courbe. Pour trouver les trajectoires orthogonales, il suffit donc de calculer l'opposé de l'inverse de cette pente.

Forme ordinaire

L'équation différentielle caractérisant (C_α) est de la forme :

${\displaystyle y'=f(x,y).}$

Cette valeur f(x , y) correspond à la pente de la tangente de la courbe de (C_α) passant par (x , y), donc la pente de la tangente à la trajectoire orthogonale en ce point vaut -1/f(x , y).

Déterminer les courbes de (Γ_λ) revient donc à résoudre l'équation différentielle :

${\displaystyle y'={\frac {-1}{f(x,y)}}.}$

Système différentiel

L'équation différentielle caractérisant (C_α) est de la forme :

${\displaystyle x'=a(x,y),\ y'=b(x,y).}$

Par un raisonnement similaire, on montre que les courbes de (Γ_λ) vérifient :

${\displaystyle x'=-b(x,y),\ y'=a(x,y).}$

Différentielle

L'équation différentielle caractérisant (C_α) est de la forme :

${\displaystyle A(x,y)\mathrm {d} x+B(x,y)\mathrm {d} y=0.}$

Par un raisonnement similaire, on montre que les courbes de (Γ_λ) vérifient :

${\displaystyle -B(x,y)\mathrm {d} x+A(x,y)\mathrm {d} y=0.}$

Forme implicite non différentielle

Dans le cas où l'équation caractérisant (C_α) est algébrique, de la forme :

${\displaystyle V(x,y)=c,}$

on se ramène au cas précédent en différentiant :

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}}(x,y)\mathrm {d} x+{\frac {\partial V}{\partial y}}(x,y)\mathrm {d} y=0.}$

Cercles concentriques

L'ensemble des cercles centrés à l'origine vérifie :

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-\alpha =0\ ,\qquad \alpha \geqslant 0,}$

qui admet pour différentielle :

${\displaystyle x\mathrm {d} x+y\mathrm {d} y=0.}$

Les trajectoires orthogonales vérifient donc

${\displaystyle -y\mathrm {d} x+x\mathrm {d} y=0\Longleftrightarrow y=\lambda x,\lambda \in \mathbb {R} .}$

Il s'agit du faisceau de droites passant par l'origine.

Paraboles

L'ensemble des paraboles passant par l'origine, d'axe (Oy), vérifie ${\displaystyle y-\alpha x^{2}=0\ ,\qquad \alpha \in \mathbb {R} }$ qui admet pour différentielle :

${\displaystyle -2\alpha x\mathrm {d} x+\mathrm {d} y=0.}$

Les trajectoires orthogonales vérifient donc, en utilisant l'équation de base pour supprimer le paramètre α :

${\displaystyle \mathrm {d} x+2\alpha x\mathrm {d} y=\mathrm {d} x+{\frac {2y}{x}}\mathrm {d} y=0\Longrightarrow x^{2}+2y^{2}=\lambda .}$

Ce sont des ellipses.

Si l'équation du faisceau est donnée en coordonnées polaires :

${\displaystyle V(r,\varphi ,\alpha )=0}$

la forme différentielle non paramétrée s'écrit

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}(r,\varphi ,\alpha )+{\frac {\partial V}{\partial \varphi }}(r,\varphi ,\alpha )\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial r}}=0,\qquad {\frac {\partial \varphi }{\partial r}}=v(r,\varphi ).}$

L'équation des trajectoires orthogonales s'écrit alors :

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial r}}=-{\frac {1}{r^{2}v(r,\varphi )}}\ .}$

Les trajectoires orthogonales d'un faisceau de cardioïdes sont elles-mêmes des cardioïdes.

Exemple

L'équation d'un faisceau de cardioïdes est donné par :

${\displaystyle V(r,\varphi ,\alpha )=r-\alpha (1+\cos \varphi )=0,\ \alpha >0\ .\ }$

${\displaystyle V_{r}(r,\varphi ,\alpha )+V_{\varphi }(r,\varphi ,\alpha )\;\varphi '=1+\alpha \sin \varphi \;\varphi '=0,\qquad }$

En éliminant α, on obtient l'équation :

${\displaystyle \varphi '=-{\frac {1+\cos \varphi }{r\sin \varphi }}}$

L'équation différentielle des trajectoires orthogonales est alors :

${\displaystyle \varphi '={\frac {\sin \varphi }{r(1+\cos \varphi )}}}$

Une résolution par séparation des variables donne

${\displaystyle r=\lambda (1-\cos \varphi )\ ,\ \lambda >0\ ,}$

soit un faisceau de cardioïdes symétrique à l'original.