Coordonnées elliptiques

La notation la plus courante des coordonnées elliptiques ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ est :

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\;\cosh \mu \;\cos \nu \\y=a\;\sinh \mu \;\sin \nu \end{cases}}}$

où ${\displaystyle \mu }$ est un nombre réel positif et ${\displaystyle \nu \in [0,2\pi ].}$

Sur le plan complexe, une relation équivalente est :

${\displaystyle x+\mathrm {i} \,y=a\;\cosh(\mu +\mathrm {i} \,\nu )}$.

Ces définitions correspondent aux ellipses et aux hyperboles. L'identité trigonométrique :

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

montre que les courbes à ${\displaystyle \mu ={\text{constante}}}$ forment des ellipses, tandis que l'identité trigonométrique hyperbolique :

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

montre que les courbes à ${\displaystyle \nu ={\text{constante}}}$ forment des hyperboles.

Dans un système de coordonnées orthogonales, les longueurs des vecteurs de base sont appelées facteurs d'échelle. Les facteurs d'échelle pour les coordonnées elliptiques ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ sont égaux à :

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a\,{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a\,{\sqrt {\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}}$.

En utilisant les identités à double argument pour les fonctions hyperboliques et les fonctions trigonométriques, les facteurs d'échelle peuvent être exprimés de manière équivalente comme :

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}}$.

Par conséquent, un élément infinitésimal de surface est égal à :

${\displaystyle \mathrm {d} A=h_{\mu }\,h_{\nu }\,\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu =a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu =a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \nu }$

et le laplacien s'écrit :

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)}$.

D'autres opérateurs différentiels tels que ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ et ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ peut être exprimé dans les coordonnées ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ en substituant les facteurs d'échelle dans les formules générales trouvées en coordonnées orthogonales.