Algèbre d'un groupe fini

L'objectif est l'étude des représentations d'un groupe fini G sous un angle particulier. Dans un premier temps, une unique représentation est étudiée, la représentation régulière. L'ensemble de départ est linéarisé, c’est-à-dire qu'il est identifié à l'espace vectoriel sur le corps K de la représentation, le groupe devenant la base canonique de l'espace. Le morphisme de groupes de G dans le groupe linéaire de l'espace vectoriel est prolongé par linéarité. On obtient une structure d'algèbre associative sur un corps commutatif, noté K[G] (pour les notations, voir l'article polynôme en plusieurs indéterminées). Avec les caractères, cette approche est l'un des deux piliers de la théorie des représentations.

Le théorème de Maschke démontre que si l'ordre du groupe n'est pas un multiple de la caractéristique du corps K, l'algèbre est semi-simple. Cette structure, objet d'une vaste théorie, permet la démonstration de résultats variés grâce à ses nombreux théorèmes. L'un des plus importants est sans doute celui d'Artin-Wedderburn, il indique que si le polynôme X^g – 1 est scindé, l'algèbre est isomorphe à une somme directe d'algèbres des endomorphismes sur des K-espaces vectoriels de dimensions finies. Ici g désigne l'ordre du groupe.

L'algèbre d'un groupe opère sur toutes les représentations, il suffit de prolonger le morphisme de groupes par linéarité. On obtient une structure de module où l'anneau K[G] opère sur l'espace vectoriel de la représentation. Une telle structure se nomme G-module. Il existe une équivalence stricte entre la notion de G-module et celle de représentation de G.

L'essentiel des premiers résultats de la théorie des représentations est une conséquence directe des propriétés générales des algèbres semi-simples. On peut démontrer le caractère fini du nombre de représentations irréductibles, ou l'égalité entre l'ordre du groupe et la somme des carrés des dimensions des représentations irréductibles. Il est vrai que ces propriétés se démontrent souvent facilement à l'aide des caractères, sans l'adjonction d'une théorie riche mais parfois complexe. En revanche, certains de ces résultats se démontrent de manière plus aisée avec une approche par les algèbres semi-simples, c'est le cas du critère de réciprocité de Frobenius.

Il existe des éléments propres aux algèbres qui sont indispensables à la théorie des représentations. Le centre de l'algèbre K[G] est naturellement une extension abélienne commutative du corps K. Il est possible d'utiliser la notion d'entier algébrique. Cette remarque permet d'introduire une arithmétique, qui s'avère incoutournable. Elle est utilisée dans cet article pour démontrer que toute représentation irréductible possède un degré divisant l'ordre du groupe.

Dans le cas où g est un multiple de la caractéristique du groupe, la propriété fondamentale des caractères, à savoir l'aspect orthonormal des caractères irréductibles disparait. L'algèbre du groupe perd aussi sa semi-simplicité. En revanche la théorie des anneaux semi-simples et particulièrement le concept de radical de Jacobson permet d'élucider la nature des représentations.

Les notations et hypothèses suivantes sont utilisées dans tout l'article :

• G désigne un groupe fini noté multiplicativement, son élément neutre est noté 1 et son ordre g ;
• K est un corps dont la caractéristique ne divise pas g, et sur lequel le polynôme X^g – 1 est scindé (ou même seulement le polynôme X^e – 1, où e désigne l'exposant de G).
• K^G désigne l'espace vectoriel des applications de G dans K. Sa base canonique est la famille (δ_s)_s∊G, où δ_s(t) vaut 1 pour t = s et vaut 0 pour les autres t ∈ G.

La K-algèbre du groupe G, notée K[G], est définie en munissant l'espace vectoriel K^G du produit de convolution ∗, décrit par :

${\displaystyle \forall a,b\in K^{G},\quad \forall u\in G,\qquad (a*b)(u)=\sum _{s,t\in G,\ st=u}a(s)b(t)}$

ou encore :

${\displaystyle \forall (a_{s})_{s\in G},~(b_{t})_{t\in G}\in K^{G},\quad \left(\sum _{s\in G}a_{s}\delta _{s}\right)*\left(\sum _{t\in G}b_{t}\delta _{t}\right)=\sum _{s,t\in G}a_{s}b_{t}\delta _{st}.}$

Cette multiplication interne prolonge la loi du groupe au sens où δ_s∗δ_t = δ_st.

• Un module sur l'algèbre K[G] est appelé un G-module.

On dispose alors d'un dictionnaire complet entre représentations de G et G-modules. En particulier :

• Les modules simples correspondent aux représentations irréductibles.
• Si V₁ et V₂ sont deux G-modules, la K-algèbre des morphismes de G-modules de V₁ dans V₂ est l'algèbre des morphismes entre les deux représentations correspondantes. Elle sera notée hom_K^G(V₁, V₂).

D'après le théorème de Maschke :

• Si l'ordre du groupe n'est pas un multiple de la caractéristique du corps K, alors tout G-module est semi-simple, c'est-à-dire somme directe de modules simples. Autrement dit : K[G] est une algèbre semi-simple.

Il résulte de la définition du produit dans l'anneau K[G] que son centre est constitué des applications de G dans K qui sont centrales, c'est-à-dire constantes sur chaque classe de conjugaison. Ce sous-espace vectoriel de K^G a donc pour base canonique la famille (1_c)_c∊C des fonctions indicatrices de ces classes de conjugaison (une telle indicatrice se décompose dans la base canonique de K^G en : 1_c = ∑_s∊cδ_s).

On démontre par ailleurs que pour la forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur K^G définie par

${\displaystyle (f|h)={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}f(s)h(s^{-1}),}$

• les caractères irréductibles forment une base orthonormée du sous-espace des fonctions centrales.

Il en résulte (en considérant la dimension de ce sous-espace) :

• Le nombre de caractères irréductibles est égal au nombre h de classes de conjugaison du groupe.

Le groupe n'a donc sur K (à équivalence près) que h représentations irréductibles (S₁, ρ₁), … (S_h, ρ_h), dont les caractères χ₁, ..., χ_h forment une base de l'espace des fonctions centrales.

Avec les notations du paragraphe précédent, on démontre directement le théorème fondamental suivant :

• L'algèbre K[G] est isomorphe à la somme directe des algèbres L_K(S_i) d'endomorphismes des K-espaces vectoriels S_i sous-jacents aux h représentations irréductibles de G :${\displaystyle K[G]\;\simeq \;\bigoplus _{i=1}^{h}\mathrm {L} _{K}(S_{i}).}$Une manière plus savante d'arriver au même résultat est d'utiliser le théorème d'Artin-Wedderburn pour les algèbres semi-simples de dimension finie.

• Puisque l'espace vectoriel sous-jacent à K[G] est K^G on a donc, en notant d_i la dimension de l'espace S_i, l'égalité d'entiers :${\displaystyle g=\sum _{i=1}^{h}d_{i}^{2}.}$(Dans l'article Représentation régulière, cette identité remarquable est démontrée seulement modulo la caractéristique de K.)
• Un élément ${\displaystyle f}$ de K[G] appartient au centre si et seulement si chacune de ses composantes est une homothétie. De plus, l'étude des fonctions centrales montre que le rapport λ_i de l'homothétie sur S_i vaut alors :${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {1}{d_{i}}}\sum _{s\in G}f(s)\chi _{i}(s).}$

La représentation régulière λ de G est celle qui correspond, via le « dictionnaire » mentionné précédemment, à la structure naturelle de K[G]-module à gauche de l'algèbre K[G]. Grâce à la décomposition ci-dessus de cette algèbre on a donc :

• La représentation régulière est équivalente à la somme directe des représentations irréductibles ρ_i répétées chacune un nombre de fois égal à son degré d_i :

${\displaystyle (K^{G},\lambda )~\simeq ~\bigoplus _{i=1}^{h}d_{i}(S_{i},\rho _{i}).}$

Autrement dit, les composantes isotypiques du module semi-simple associé à λ sont les

${\displaystyle d_{i}(S_{i},\rho _{i})=(S_{i},\rho _{i})\oplus \ldots \oplus (S_{i},\rho _{i})\quad (d_{i}{\text{ fois}}),\quad {\text{avec}}\quad d_{i}=\dim(S_{i}).}$

La complémentarité des deux approches, par les caractères et par l'algèbre du groupe, s'applique aussi sur les propriétés d'orthogonalité. Soient (V₁, ρ¹) et (V₂, ρ²) deux représentations de G.

• Si χ¹ et χ² désignent les caractères de ρ¹ et ρ² et si les représentations (V₁, ρ¹) et (V₂, ρ²) sont considérées comme des G-modules, alors l'égalité suivante est vérifiée dans K :

${\displaystyle (\chi _{1}|\chi _{2})=\dim \left(\hom _{K}^{G}(V_{1},V_{2})\right).}$

Démonstration

En utilisant les notations précédentes, notons :

${\displaystyle (V_{1},\rho ^{1})\simeq \bigoplus _{i=1}^{h}n_{1,i}(S_{i},\rho _{i})\quad {\text{et}}\quad (V_{2},\rho ^{2})\simeq \bigoplus _{i=1}^{h}n_{2,i}(S_{i},\rho _{i}).}$

Le lemme de Schur démontre que dim(Hom_K^G(S_i,S_j))=δ_i,j (le symbole de Kronecker). On en déduit :

${\displaystyle \dim \left(\hom _{K}^{G}(V_{1},V_{2})\right)=\dim \left(\hom _{K}^{G}\left(\bigoplus _{i=1}^{h}S_{i}^{n_{1,i}},\bigoplus _{j=1}^{h}S_{j}^{n_{2,j}}\right)\right)=\sum _{i,j\in [1,h]}n_{1,i}n_{2,j}\dim \left(\hom _{K}^{G}(S_{i},S_{j})\right)=\sum _{i=1}^{h}n_{1,i}n_{2,i}.}$

La propriété d'orthonormalité des caractères irréductibles permet de conclure.

Un bon exemple d'utilisation de la structure d'algèbre de groupe est donné par le critère de réciprocité de Frobenius. Il concerne un mode de construction de G-module appelé représentation induite. Soit H un sous-groupe de G et W un K[H]-module. Alors la structure suivante est le G-module induit par W :

${\displaystyle V\simeq K[G]\otimes _{K[H]}W\;}$

La représentation induite correspond, à une extension des scalaires K[H] à l'anneau K[G] sur le H-module W. Dans le cas où H est un sous-groupe normal de G, le G-module induit est l'équivalent d'un produit semi-direct.

Le critère de réciprocité de Frobenius est une méthode simple pour calculer le produit hermitien du caractère d'un module induit. Si ψ désigne le caractère de la représentation θ issus du H-module W et χ celui d'une représentation ρ de G, si Ind ψ désigne le caractère d'une représentation induite, c’est-à-dire la représentation associée au module induit et Res χ le caractère de la restriction de ρ à H, alors :

${\displaystyle <Ind_{H}^{G}\,\psi \,|\,\chi >_{G}=<\psi \,|\,Res_{H}^{G}\,\chi >_{H}\;}$

Elle se démontre en établissant un isomorphisme entre les deux structures de morphismes de K-algèbre associée, l'égalité des dimensions permet de conclure.

• Soit u un élément du centre de K[G] dont toutes les coordonnées — dans la base canonique (1_c)_c∈C — sont entières sur ℤ, alors u est entier sur ℤ.

Pour le prouver, on démontre[1] que le ℤ-module de type fini engendré par les 1_c est en fait une ℤ-algèbre.

Avec les notations des paragraphes précédents, on en déduit :

• Soit u un élément du centre de K[G] dont toutes les coordonnées sont entières sur ℤ, alors l'élément suivant de K est entier sur ℤ.

${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {1}{d_{i}}}\sum _{s\in G}u_{s}\chi _{i}(s)}$

En effet, d'après le paragraphe « Théorème d'Artin-Wedderburn », ce nombre est le rapport de l'homothétie ρ_i(u) sur S_i. D'après la proposition précédente, cette homothétie est un élément entier sur ℤ, donc son rapport aussi car l'application qui à une homothétie associe son rapport est un morphisme d'algèbres.

Lorsque K est de caractéristique nulle, on peut en déduire la propriété suivante (qui est en fait vraie en caractéristique quelconque) :

• Le degré d_i d'une représentation irréductible divise l'ordre g du groupe.

Si le groupe fini G est abélien, son groupe dual est fini et isomorphe (non canoniquement) à G. On possède alors tous les outils de l'analyse harmonique sur l'algèbre du groupe (à coefficients complexes). On définit une transformée de Fourier et un produit de convolution, et les théorèmes comme l'égalité de Parseval, le théorème de Plancherel ou la dualité de Pontryagin s'appliquent.

De nombreux théorèmes classiques se réinterprètent en termes d'analyse harmonique sur un groupe abélien fini ; on peut citer en arithmétique la constitution d'outils comme le symbole de Legendre, les sommes de Gauss utilisées pour la démonstration de la loi de réciprocité quadratique ou pour le calcul des périodes de Gauss et la recherche des racines des polynômes cyclotomiques.

Algèbre d'un groupoïde (en)

• Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]
• (en) Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups [détail des éditions]
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. VIII

• Vincent Beck, « TD Représentation des groupes finis », 2005-2006 du cours de M2 de Michel Broué (Université Paris VII - Diderot), et corrigé
• Daniel Ferrand, « Représentation linéaire des groupes finis, une introduction », sur IMJ-PRG, 2005
• (en) Peter Webb, « Finite Group Representations for the Pure Mathematician »