Fonction centrale

Une application ${\displaystyle f}$ définie sur un groupe G est dite centrale si pour tous s et t dans G, on a :

${\displaystyle f(sts^{-1})=f(t)~}$

ou encore (via la bijection (s,t)↦(u=st,v=s ⁻¹))

${\displaystyle \forall u,v\in G\quad f(uv)=f(vu)}$

Pour tout corps K, le groupe G agit naturellement à droite sur l'espace vectoriel K^G des applications de G dans K par : s.f : t↦f(sts⁻¹). Les fonctions centrales sur G à valeurs dans K sont donc les points fixes de cette représentation, et forment de ce fait un sous-espace vectoriel de K^G.

Cet espace vectoriel des fonctions centrales sur G à valeurs dans K est par ailleurs naturellement isomorphe à l'espace K^C, où C désigne l'ensemble des classes de conjugaison de G.

• Sur un groupe abélien, toute fonction est centrale. En effet, les classes de conjugaison sont alors les singletons.
• Un exemple un tout petit peu moins trivial de fonctions centrales est celui des morphismes de groupes à valeurs dans un groupe abélien.
• Un autre est celui de l'application, d'un groupe de torsion G dans l'ensemble ℕ*, qui à chaque élément de G associe son ordre.
• Si G est un groupe topologique, on se restreint en général aux fonctions centrales mesurables, voire continues.

Si G est un groupe compact, on note λ sa mesure de Haar définie comme l'unique mesure de probabilité invariante par translation à gauche, et L²(G) l'espace de Hilbert des fonctions complexes mesurables sur G et de carré λ-intégrable. Cet espace peut être muni :

• d'un produit associatif et distributif d'élément neutre la fonction constante égale à 1, le produit de convolution, défini par :

${\displaystyle \forall f,g\in L^{2}(G),\,f*g(s)=\int _{G}f(t)g(st^{-1})d\lambda (t);}$

• d'une involution définie par :

${\displaystyle \forall f\in L^{2}(G),\,f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}.}$

Muni de ces lois, L²(G) est une algèbre de Banach involutive, et même une algèbre hilbertienne (en). L'étude de cette algèbre est liée à l'étude des représentations continues de G (lire Théorème de Peter-Weyl).

Cette relation transparait dans l'étude du centre de L²(G). En effet, un calcul direct donne pour toutes fonctions mesurables f et g de carré intégrable :

${\displaystyle f*g(s)-g*f(s)=\int _{G}g(t^{-1}).\left[f(st)-f(ts)\right]~\mathrm {d} \lambda (t).}$

Une fonction f appartient au centre de L²(G) si et seulement si pour toute fonction g∊L²(G), les convoluées f∗g et g∗f sont égales presque partout, donc partout car elles sont continues. De fait, cela équivaut à ce que pour presque tous u et v dans G, on a : f(uv)=f(vu).

Le centre de L²(G) est donc le sous-espace vectoriel fermé des (classes de) fonctions centrales mesurables sur G et de carré intégrable.

Caractère d'un groupe compact

Une représentation continue de dimension finie du groupe compact G est une application continue ρ : G→GL(V) où V est un espace vectoriel complexe de dimension finie.

Le caractère associé est la fonction centrale définie par :

${\displaystyle \chi _{\rho }(s)=Tr\left[\rho (s)\right]}$

Deux représentations équivalentes ont même caractère.

On appelle caractère irréductible un caractère associé à une représentation continue irréductible. Les caractères irréductibles appartiennent à L²(G), les caractères associés à deux représentations irréductibles non équivalentes sont orthogonaux, et l'ensemble des caractères irréductibles forme une base hilbertienne de L²(G).

Pour un groupe fini G, le nombre de représentations irréductibles est le nombre des classes de conjugaison de G.

• Fonction centrale sur un groupe fini
• C*-algèbre d'un groupe localement compact (en)