Théorème d'inversion locale

Il en existe plusieurs formes, celle proposée ici est relativement générale[1] - [2] :

Cet énoncé mérite quelques explications.

• Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance induite. Un exemple important est celui des espaces vectoriels réels de dimension finie. Certaines versions limitent d'ailleurs leur énoncé à ce cas particulier[3].
• Une différentielle correspond à la généralisation de la notion de dérivée. Un accroissement f(x + h) – f(x), si h est petit, est presque égal à f'(x).h. A priori, cette égalité possède un sens si f est une fonction de R dans R et le terme f'(x) désigne la dérivée de la fonction f au point x. Si la fonction est définie d'un espace vectoriel dans un autre, ce résultat se généralise mais f'(x).h, qui est alors noté df_x ou Df_x, est une application linéaire continue appelée différentielle de f au point x. L'application qui à x associe Df_x est la différentielle de f ; c'est encore une application d'un espace vectoriel dans un autre, on peut parfois la différentier. Si cette opération est réalisable p fois, et si la différentielle p-ième est continue, l'application f est dite de classe C^p.
• Une application linéaire continue T : E → F entre deux espaces vectoriels normés est dite inversible lorsqu'elle est bijective et que sa réciproque T⁻¹ : F → E (linéaire) est continue. Entre espaces de dimension finie, toute application linéaire est continue. Entre espaces de Banach, d'après le théorème de Banach-Schauder, la réciproque d'une bijection linéaire continue est toujours continue[4].

On dispose du corollaire suivant[1] :

Remarque : Une application bijective de classe C^p dont la réciproque est aussi de classe C^p est appelée un C^p-difféomorphisme.

passage en polaires

Soit ${\displaystyle U}$ l'ensemble des ${\displaystyle (\theta ,r)}$ de ${\displaystyle {\mathbb {R}}^{2}}$ tels que ${\displaystyle -\pi <\theta <\pi ,r>0}$. Soit ${\displaystyle I}$ l'ensemble des points ${\displaystyle (x,0)}$ de ${\displaystyle {\mathbb {R}}^{2}}$ tels que ${\displaystyle x\leqslant 0}$, et posons ${\displaystyle V:={\mathbb {R}}^{2}\backslash I}$. Il est immédiat que ${\displaystyle U}$ et ${\displaystyle V}$ sont des parties ouvertes de ${\displaystyle {\mathbb {R}}^{2}}$. Soit ${\displaystyle f}$ l'application ${\displaystyle (\theta ,r)\mapsto (r\cos \theta ,r\sin \theta )}$ de ${\displaystyle U}$ dans ${\displaystyle {\mathbb {R}}^{2}}$. On a ${\displaystyle f(U)\subset V}$; en effet, si ${\displaystyle r\sin \theta =0}$, on a ${\displaystyle \sin \theta =0(r>0)}$, donc ${\displaystyle \theta =0(-\pi <\theta <\pi )}$, donc ${\displaystyle r\cos \theta >0}$; par suite, ${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta )\not \in I}$, ce qui prouve bien que ${\displaystyle f(U)\subset V}$. Il est immédiat que f est injective, et continûment différentiable. Montrons que ${\displaystyle f}$ est surjective. Soit ${\displaystyle (x,y)\in V}$; posons ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$; on a ${\displaystyle \left({\frac {x}{r}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{r}}\right)^{2}=1}$, donc il existe un nombre ${\displaystyle \theta =\theta (x,y)}$ unique dans ${\displaystyle [-\pi ,\pi [}$ tel que ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}},\sin \theta ={\frac {y}{r}}}$; si ${\displaystyle \theta =-\pi }$, on a ${\displaystyle x=-r,y=0}$, ce qui est absurde puisque ${\displaystyle (x,y)\in V}$; donc ${\displaystyle \theta \in ]-\pi ,\pi [,(\theta ,r)\in U}$; en outre, ${\displaystyle (x,y)=f(r,\theta )}$, ce qui prouve que ${\displaystyle f}$ est surjective. Le jacobien de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle (\theta ,r)}$ est ${\displaystyle {\begin{vmatrix}-r\sin \theta &\cos \theta \\r\cos \theta &\sin \theta \end{vmatrix}}=-r}$ donc est différent de 0 dans ${\displaystyle U}$. Donc, d'après le théorème d'inversion globale, ${\displaystyle f}$ est un difféomorphisme de ${\displaystyle U}$ sur ${\displaystyle V}$, utile en coordonnées polaires.

Les usages du théorème d'inversion locale sont multiples et touchent différentes branches des mathématiques. L'une d'entre elles est la branche d'origine du théorème : la géométrie différentielle. Le théorème d'inversion locale est utilisé soit sous sa forme d'origine, soit sous la forme du théorème des fonctions implicites, qui lui est équivalent au sens où chacun peut se déduire de l'autre.

On utilise le théorème des fonctions implicites pour étudier les figures géométriques définies sous forme d'équations, comme les lignes de niveau d'une fonction de Rⁿ dans R. De manière plus générale, une variété différentielle correspond à la généralisation de courbes ou surfaces régulières, en dimension quelconque. Il existe deux manières de les définir localement, à travers une équation, soit cartésienne, soit paramétrique. Le théorème des fonctions implicites montre l'équivalence de ces deux manières.

En calcul différentiel, le multiplicateur de Lagrange permet de trouver des extrema sous contrainte. Si U est un ouvert d'un espace euclidien, l'objectif est de trouver un extremum d'une fonction f définie sur les points x de U et à valeurs dans R vérifiant l'équation g(x) = 0, où g est une fonction à valeurs dans un autre espace euclidien. Le théorème des fonctions implicites fournit une méthode pour résoudre ce problème.

On trouve encore le théorème d'inversion locale dans les équations différentielles, où il est l'outil de démonstration du théorème du redressement d'un flot. Une équation différentielle explicite possède une forme équivalente à (1) x' = f(t, x). Si la fonction f est indépendante de t l'équation est dite autonome, la fonction est un champ de vecteurs et les solutions de l'équation possèdent des graphes tangents en un point x au vecteur f(x), à l'image de la figure rouge et jaune, à gauche. Le théorème du redressement d'un flot montre que localement, l'équation différentielle est équivalente à celle ayant un champ constant, à l'image de la représentation bleue et jaune, encore à gauche.

Les exemples cités supposent généralement que les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie. Tel n'est pas toujours le cas. Une manière d'exprimer les solutions de l'équation (1) est de considérer le flot, c'est-à-dire la fonction α qui, à un instant t et à un point x, associe le point image de la solution s de (1) vérifiant l'égalité s(0) = x. Si la fonction f est de classe C^p, alors le flot α l'est aussi. Une démonstration fait usage du théorème des fonctions implicites dans le contexte d'espaces vectoriels de dimension infinie.