Rotor (météorologie)

On considère un modèle en 2 dimensions où la chaîne de montagnes est rectiligne et de hauteur constante. On suppose qu'à l'amont de la montagne, le champ de vitesses est axisymétrique et est de la forme :

${\displaystyle {\vec {U}}(z)=U{\vec {i}}}$

où ${\displaystyle U=\gamma z}$ pour ${\displaystyle z\leq z_{M}}$ et que ${\displaystyle U=\gamma z_{M}=U_{M}}$ sinon.

On suppose qu'à l'aval de la montagne se forment des ondes stationnaires que l'on modèle par un champ de vitesses de type ${\displaystyle {\vec {U}}+{\vec {u}}}$ et l'on cherche à exprimer ${\displaystyle {\vec {u}}}$.

On écrit : ${\displaystyle {\vec {u}}=u{\vec {i}}+w{\vec {k}}}$

Comme la vitesse du vent est très nettement inférieure à la vitesse du son, on peut considérer le fluide comme étant incompressible et donc l'on a :

${\displaystyle \nabla {\vec {u}}=0}$

et donc il existe une fonction de courant ${\displaystyle \psi }$ telle que :

${\displaystyle u=-{\partial \psi \over \partial z}\qquad w={\partial \psi \over \partial x}}$

On suppose que le flot est barotropique et que la perturbation du flot est irrotationnelle. On a donc :

${\displaystyle {\partial w \over \partial x}-{\partial u \over \partial z}=0}$

On vérifie alors aisément que

${\displaystyle \Delta \psi ={\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\psi \over \partial z^{2}}=0}$

On suppose que l'extension horizontale du phénomène par rapport à l'extension verticale est très grande et donc que :

${\displaystyle \left|{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}\right|\ll \left|{\partial ^{2}\psi \over \partial z^{2}}\right|}$

On obtient alors :

${\displaystyle {\partial ^{2}\psi \over \partial z^{2}}\approx {\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\psi \over \partial z^{2}}=0}$

La solution générale de cette équation laplacienne est donc :

${\displaystyle \psi (x,z)=f(x)+zg(x)}$

On définit la fonction de courant globale ${\displaystyle \Psi }$ comme étant :

${\displaystyle \Psi (x,z)={1 \over 2}\gamma z^{2}+f(x)+zg(x)}$

On vérifie aisément que :

${\displaystyle w(x,z)={\partial \Psi \over \partial x}=f'(x)+zg'(x)}$

Il est clair qu'à z = 0, on a w(x,0) = 0. On obtient donc ${\displaystyle \forall x\quad f'(x)=0}$ et on peut donc supposer que ${\displaystyle f(x)=0}$

On obtient donc :

${\displaystyle \Psi (x,z)={1 \over 2}\gamma z^{2}+zg(x)}$

On suppose que la fonction ${\displaystyle \Psi }$ est périodique et que g(x) peut être représentée par une fonction sinusoïdale. On écrit alors :

${\displaystyle \Psi (x,z)={1 \over 2}\gamma z^{2}+az\sin(kx)}$

Soit N la fréquence de Brunt-Väisälä. On suppose que le nombre d'onde k vaut :

${\displaystyle k={N \over U_{M}}}$

La vitesse du vent vertical est donnée par :

${\displaystyle w(x,z)={\partial \Psi \over \partial x}={\partial \left({1 \over 2}\gamma z^{2}+az\sin(kx)\right) \over \partial x}}$

Et donc :

${\displaystyle w(x,z)=akz\cos(kx)}$

k est le nombre d'onde défini par :

${\displaystyle k={N \over U_{M}}}$

où N est la fréquence de Brunt-Väisälä.

On déterminera a infra.

On rappelle que ${\displaystyle u(x,z)=-{\partial \psi \over \partial z}}$ et donc :

${\displaystyle u(x,z)=-a\sin(kx)}$

Le vent horizontal en aval sera donc :

${\displaystyle U_{h}=U+u=\gamma z-a\sin(kx)}$

On constate alors que près du sol, le vent sera inversé lorsque ${\displaystyle kx=\left(n+{1 \over 2}\right)\pi }$ c'est-à-dire:

${\displaystyle x={n\pi \over k}}$

On remarque que

${\displaystyle {d \over dt}\Psi (x(t),z(t))={\partial \Psi \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial \Psi \over \partial z}{dz \over dt}={\partial \Psi \over \partial x}(U+u)+{\partial \Psi \over \partial z}w=-w(U+u)+(U+u)w=0}$

La trajectoire d'une parcelle d'air suivra donc les lignes de niveau définies par ${\displaystyle \Psi (x,z)=C}$.

On va démontrer que la circulation d'air se décompose en une boucle fermée appelée rotor et un courant synoptique.

Une ligne de courant est donc définie par :

${\displaystyle C=\Psi (x,z)={1 \over 2}\gamma z^{2}+az\sin(kx)}$

On pose ${\displaystyle t=\tan {kx \over 2}}$ On rappelle que ${\displaystyle \sin(kx)={2t \over 1+t^{2}}}$

On substitue et donc :

${\displaystyle {1 \over 2}\gamma z^{2}+az{2t \over 1+t^{2}}-C=0}$

Une telle courbe en (z,t) est une courbe elliptique et donc est une courbe de genre 1. Une telle courbe est donc constituée d'une boucle et d'une courbe partant à l'infini.

Dans le cas C = 0 la courbe est polynomiale (et se factorise) et l'on a :

${\displaystyle z={4at \over \gamma (1+t^{2})}={2a \over \gamma }\sin(kx)}$

Les solutions explicites en ce qui concerne les lignes de courant sont les suivantes :

${\displaystyle z={-a\sin(kx)\pm {\sqrt {a^{2}\sin ^{2}(kx)+\gamma C}} \over \gamma }}$

Dans le cas C = 0, on a :

${\displaystyle z={-2a\sin(kx) \over \gamma }}$

Le sommet du rotor est donc situé à ${\displaystyle z_{r}={2a \over \gamma }}$. Si l'on fait l'hypothèse supplémentaire que le rotor se situe au niveau de la ligne de crête, connaissant γ (donné par les conditions synoptiques), on peut en déduire a. Soit h la hauteur de la montagne, on a alors :

${\displaystyle h=z_{r}={2a \over \gamma }}$

et donc :

${\displaystyle a={h\gamma \over 2}}$

On obtient donc la vitesse verticale suivante :

${\displaystyle w(x,z)={h\gamma Nz \over 2U_{M}}\cos(kx)}$

Donc, si l'on prend h = 2000 m, γ = 0.02 s¯¹, N= 0.01 Hz, U_M = 40 m/s, à 1000 mètres d'altitude, le courant ascendant maximum sera :

${\displaystyle w_{M}={2\times 10^{3}\times 2\times 10^{-2}\times 10^{-2}\times 1\times 10^{3} \over 2\times 4\times 10^{1}}=2.5}$ m/s

À 2000 mètres, l'ascendance sera de 5 m/s. Ces valeurs numériques correspondent grossièrement aux courants ascendants habituellement relevés.

La figure ci-dessous représente les lignes de courant pour k = 0.001 m¯¹, a = 20 m/s, γ = 0.02 s¯¹.

Figure 5 : Lignes de courant d'un système d'ondes/rotor en forme d'œil de chat. Les lignes bleues représentent le courant synoptique. Les lignes orange représentent le courant inversé dans le rotor. La ligne rouge représente la zone de transition.

La ligne rouge représente la transition entre le rotor et l'onde laminaire. On remarquera que lorsque z = 0 le long de la ligne rouge, on a u = w = 0. Le long de cette ligne rouge du côté au vent. la turbulence sera très forte due à la friction entre 2 courants indépendants engendrant une instabilité de Kelvin-Helmholtz.