Instabilité de Kelvin-Helmholtz

La différence de vitesse dans les deux fluides tend à former un cisaillement graduel et une rotation

Si on plaçait des pales dans ce cisaillement du flux, on voit le sens du tourbillon induit

Pour de faibles vitesses de deux fluides glissant l'un par rapport à l'autre, l'interface, stabilisée par la gravité et la tension de surface, est horizontale. Pour une différence de vitesse critique à l'interface, on assiste à une déstabilisation et des ondes propagatives apparaissent et deviennent rapidement non-linéaires. L'instabilité est d'origine inertielle avec un seuil indépendant de la viscosité des fluides mais avec un taux de croissance et une vitesse des ondes affectés par la dissipation aux frontières. Pour une variation continue de densité et de vitesses, l'instabilité de Kelvin-Helmholtz est décrite par l'équation de Taylor-Goldstein et se développe à une certaine valeur du nombre de Richardson. Typiquement, l'écoulement devient instable pour un ${\displaystyle R_{i}}$ < 0,25 ce qui est assez commun dans les couches nuageuses.

L'écoulement du fluide est alors complètement décrit par son champ vectoriel de vitesse ${\displaystyle U(x,y)=\left(u(x,y);v(x,y)\right)}$, son champ scalaire de pression ${\displaystyle p(x,y)}$ la densité ${\displaystyle \rho _{0}}$ et la viscosité ${\displaystyle \mu }$. Selon les équations de Navier-Stokes qui régissent le mouvement des fluides :

• La conservation de la masse se réduit à la non-divergence de la vitesse : ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {U}}=0}$
• La conservation de la quantité de mouvement devient : ${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial {\vec {U}}}{\partial t}}+\left({\vec {U}}\cdot \nabla \right){\vec {U}}\right)=-\nabla p+\mu \Delta {\vec {U}}}$

À cause de la viscosité, la vitesse de déplacement à la frontière aura tendance à s'égaliser et donc on aura une gradation dans chacun des fluides de la vitesse entre celle originale dans le fluide et celle à la frontière (image du haut à droite). On introduit ainsi un cisaillement du déplacement et donc une rotation, un tourbillon, dans chacun des fluides près de la surface de contact. Les fluides doivent être stables thermiquement pour que la rotation se propage en aval de son point de création, autrement le cisaillement se propage sur une large couche dans la verticale et l'onde générée est très faible.

• Kelvin, Lord (William Thomson), "Hydrokinetic solutions and observations," Philosophical Magazine, vol. 42, pages 362–377 (1871).
• Helmholtz, Hermann Ludwig Ferdinand von, "Über discontinuierliche Flüssigkeits-Bewegungen [On the discontinuous movements of fluids]," Monatsberichte der Königlichen Preussiche Akademie der Wissenschaften zu Berlin [Monthly Reports of the Royal Prussian Academy of Philosophy in Berlin], vol. 23, pages 215 ff (1868).