Fréquence de Brunt-Väisälä

Modèle théorique

Il va être démontré que dans une masse d'air stable, une parcelle d'air à laquelle on a apporté une perturbation va osciller verticalement avec la fréquence N définie par :

${\displaystyle N={\sqrt {{g \over \theta (z)}\times {\partial \theta (z) \over \partial z}}}}$

où ${\displaystyle \theta (z)}$ est la température potentielle à l'altitude z. Ensuite, on va définir le nombre de Froude qui est déduit de l'équation établie dans cette section. Ce nombre de Froude prédit l'existence (ou non existence) d'un phénomène de blocage. La démonstration détaillée qui suit a pour base la référence[5].

On considère un volume de contrôle de surface S compris entre la hauteur z et la hauteur z + δ z où δ z est une quantité infiniment petite. On suppose que la pression à l'altitude z est p(z) et à l'altitude z + δ z, la pression est p(z + δ z). Soit ρ la masse volumique de l'air. La masse de la parcelle d'air est donc m = ρ S δ z. Les forces qui s'appliquent à la parcelle d'air sont:

la pression sur la face inférieure : p(z) S

la pression sur la face supérieure : - p(z+ δ z) S

la gravité : - g ρ S δ z

La force exercée sur la parcelle d'air est donc :

${\displaystyle \delta F=p(z)S-p(z+\delta z)S-g\rho S\delta z}$

L'accélération a de la parcelle d'air sera donc :

${\displaystyle ma=F=p(z)S-p(z+\delta z)S-g\rho S\delta z}$

On obtient donc (on note que δ z est un infiniment petit) :

${\displaystyle \rho S\delta za=p(z)S-\left(p(z)+{\partial p \over \partial z}\delta z\right)S-g\rho S\delta z}$

On peut simplifier et donc :

${\displaystyle \rho a=-{\partial p \over \partial z}-g\rho }$

En outre, soit ρ₀ la densité de l'air extérieur. On a

${\displaystyle p(z+\delta z)=p(z)-\rho _{0}g\delta z}$

Donc,

${\displaystyle {\partial p \over \partial z}=-g\rho _{0}}$

Finalement,

${\displaystyle \rho a=g\rho _{0}-g\rho }$

Et donc:

${\displaystyle a=g{\rho _{0}-\rho \over \rho }}$

On utilise la loi des gaz parfaits. On a

${\displaystyle p=\rho (C_{p}-C_{v})T}$

où T est la température absolue de la parcelle d'air et Cp et Cv sont les chaleurs spécifiques à pression ou volume constants. Donc,

${\displaystyle \rho ={p \over (C_{p}-C_{v})T}}$.

La pression de la parcelle d'air p₀ est égale à la pression du milieu extérieur p. Soit T₀ la température extérieure. Donc :

${\displaystyle \rho _{0}={p \over (C_{p}-C_{v})T_{0}}}$.

On obtient donc :

${\displaystyle a=g{p/T_{0}-p/T \over p/T}}$

Donc,

${\displaystyle a=g{T-T_{0} \over T_{0}}}$

L'air est un gaz di-atomique et donc :

${\displaystyle {C_{p} \over C_{v}}=\gamma ={7 \over 5}}$.

On définit la température potentielle ${\displaystyle \theta }$ comme suit :

${\displaystyle \theta =T\left({p_{mer} \over p}\right)^{\gamma -1 \over \gamma }}$

La température potentielle est donc la température qu'aurait la parcelle d'air si elle était comprimée adiabatiquement à la pression standard au niveau de la mer. Comme la pression de la parcelle d'air est égale à la pression extérieure, si ${\displaystyle \theta }$ et ${\displaystyle \theta _{0}}$ sont les températures potentielles respectives de la parcelle d'air et de l'air extérieur, on a:

${\displaystyle {\theta \over T}={\theta _{0} \over T_{0}}=\left({p_{mer} \over p}\right)^{\gamma -1 \over \gamma }}$

On obtient donc :

${\displaystyle a=g{\theta -\theta _{0} \over \theta _{0}}}$

Plus spécifiquement, on écrit :

${\displaystyle a(z)=g{\theta (z)-\theta _{0}(z) \over \theta _{0}(z)}}$

De même :

${\displaystyle a(z+\delta z)=g{\theta (z+\delta z)-\theta _{0}(z+\delta z) \over \theta _{0}(z+\delta z)}}$

Donc,

${\displaystyle a(z+\delta z)-a(z)=g{\theta (z+\delta z)-\theta _{0}(z+\delta z) \over \theta _{0}(z+\delta z)}-g{\theta (z)-\theta _{0}(z) \over \theta _{0}(z)}}$

Donc,

${\displaystyle a(z+\delta z)-a(z)=g\left({\theta (z+\delta z) \over \theta _{0}(z+\delta z)}-{\theta (z) \over \theta _{0}(z)}\right)}$

La parcelle d'air est en ascension adiabatique et donc : ${\displaystyle \theta (z+\delta z)=\theta (z)=\theta }$ et donc :

${\displaystyle a(z+\delta z)-a(z)=g\theta \left({1 \over \theta _{0}(z+\delta z)}-{1 \over \theta _{0}(z)}\right)}$

On note que ${\displaystyle \theta \approx \theta _{0}(z)}$ et donc:

${\displaystyle a(z+\delta z)-a(z)\approx -{1 \over \theta _{0}}g{\partial \theta _{0}(z) \over \partial z}\delta z}$

On suppose maintenant que ${\displaystyle {1 \over \theta (z)}\times {\partial \theta (z) \over \partial z}}$ ne dépend pas de z et donc est uniforme. On définit la quantité N² comme suit :

${\displaystyle {g \over \theta (z)}\times {\partial \theta (z) \over \partial z}=N^{2}}$.

On a donc en première approximation :

${\displaystyle a(z+\delta z)-a(z)=-N^{2}\delta z}$

On note que :

${\displaystyle a(z+\delta z)=a(z)+a'(z)\delta z+\delta z\ \epsilon }$

où ε est un nombre infiniment petit. On obtient donc :

${\displaystyle a(z)+a'(z)\delta z+\delta z\epsilon -a(z)=a(z+\delta z)-a(z)=-N^{2}\delta z}$

L'ensemble ${\displaystyle ^{*}{\mathbb {R} }}$ des nombres hyperréels est un corps et donc, l'on peut diviser l'équation ci-dessus par δz et donc,

${\displaystyle a'(z)+\epsilon =-N^{2}}$

En éliminant ε qui est infiniment petit, on obtient donc :

${\displaystyle a'(z)=-N^{2}}$

En intégrant cette équation, on obtient donc :

${\displaystyle a(z)=-N^{2}z+Constante}$

On a de même ${\displaystyle \forall h\in {\mathbb {R} }}$

${\displaystyle a(z+h)=-N^{2}(z+h)+Constante}$

et donc :

${\displaystyle a(z+h)-a(h)=-N^{2}h}$

Par définition :

${\displaystyle a(z+h)={d^{2}(z+h) \over dt^{2}}\qquad a(z)={d^{2}z \over dt^{2}}}$

On obtient alors l'équation différentielle linéaire suivante :

${\displaystyle {d^{2}h \over dt^{2}}=a(z+h)-a(z)=-N^{2}h}$

La solution générale de cette équation différentielle s'écrit :

${\displaystyle h(t)=a\cos(Nt)+b\sin(Nt)}$

où a et b sont 2 constantes dépendant des conditions initiales.

Supposons qu'à t = 0, la vitesse verticale de la parcelle d'air est w et que h = 0. La solution de l'équation différentielle ci-dessus s'écrit :

${\displaystyle h(t)={w \over N}\sin(Nt)}$

La déflexion maximale en hauteur de la parcelle d'air est w/N. Par conséquent, lorsqu'une masse d'air de vitesse horizontale u rencontre une montagne de hauteur h > u/N, la masse d'air ne pourra pas franchir la montagne et l'on sera en présence d'un phénomène de blocage en amont. Le critère d'existence ou de non existence de phénomène de blocage est déterminé par la valeur du nombre de Froude météorologique défini par :

${\displaystyle Fr={u \over Nh}}$

Si le nombre de Froude est plus grand que 1, il n' y a pas de blocage et dans le cas contraire il y a blocage.

La quantité N définie par :

${\displaystyle N={\sqrt {{g \over \theta (z)}\times {\partial \theta (z) \over \partial z}}}}$.

est appelée fréquence de Brunt-Väisälä.

Application numérique

Dans l'atmosphère standard, le gradient adiabatique est g/C_p = 9.75 K/km et l'on a d T / d z = - 6.5 K/km. Donc, on a

${\displaystyle {d\theta \over dz}=9.75-6.5=3.25K/km}$

On obtient donc :

${\displaystyle N={\sqrt {9.81\times 3.25\ 10^{-3} \over 287.15}}=0.012s^{-1}}$